Bài 2 trang 161 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Cô giáo dự định trao danh hiệu “Gia đình xanh” cho 25% gia đình các bạn sử dụng ít túi nhựa nhất...

Đề bài :

Các bạn học sinh một lớp thống kê số túi nhựa mà gia đình bạn đó sử dụng trong một tuần. Kết quả được tổng hợp lại ở bảng sau:

a) Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu trên.

b) Cô giáo dự định trao danh hiệu “Gia đình xanh” cho 25% gia đình các bạn sử dụng ít túi nhựa nhất. Cô nên trao danh hiệu cho các gia đình dùng không quá bao nhiêu túi nhựa?

Hướng dẫn giải :

a) + Sử dụng kiến thức về số trung bình của mẫu số liệu để tính:

Giả sử mẫu số được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(\overline x \), được tính như sau: \(\overline x = \frac{{{n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k}}}{n}\), trong đó \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\).

+ Sử dụng kiến thức về mốt của mẫu số liệu để tính: Giả sử nhóm chứa mốt là \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\), khi đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \({M_O}\) được xác định bởi công thức: \({M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right) + \left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)

b) Sử dụng kiến thức về xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_1}\), ta làm như sau:

Giả sử nhóm \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) chứa tứ phân vị thứ nhất, \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất, \(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\).

Khi đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: \({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\).

Lời giải chi tiết :

a) Ta hiệu chỉnh lại bảng số liệu bao gồm giá trị đại diện:

Cỡ mẫu \(n = 44\)

Số trung bình của mẫu số liệu là: \(\overline x = \frac{{7.8 + 12.15 + 17.12 + 22.7 + 27.2}}{{44}} = \frac{{162}}{{11}}\)

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là \(\left[ {9,5;14,5} \right)\).

Do đó, \({u_m} = 9,5,{u_{m + 1}} = 14,5,{n_m} = 15,{n_{m + 1}} = 12,{n_{m - 1}} = 8,{u_{m + 1}} - {u_m} = 14,5 - 9,5 = 5\)

Mốt của mẫu số liệu là: \({M_O} = 9,5 + \frac{{15 - 8}}{{\left( {15 - 8} \right) + \left( {15 - 12} \right)}}.5 = 13\)

b) Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{44}}\) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1},...,{x_8} \in \left[ {4,5;9,5} \right),{x_9},...,{x_{23}} \in \left[ {9,5;14,5} \right),{x_{24}},...,{x_{35}} \in \left[ {14,5;19,5} \right),\) \({x_{36}},...,{x_{42}} \in \left[ {19,5;24,5} \right),{x_{43}},{x_{44}} \in \left[ {24,5;29,5} \right)\)

Do cỡ mẫu \(n = 44\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{11}} + {x_{12}}} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {9,5;14,5} \right)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({Q_1} = 9,5 + \frac{{\frac{{44}}{4} - \left( {8 + 0} \right)}}{{15}}.\left( {14,5 - 9,5} \right) = 10,5\)

Vậy giáo viên nên trao danh hiệu cho các gia đình không dùng quá 10 túi nhựa.