Câu hỏi trắc nghiệm trang 64 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \frac{1}{n}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?...

Câu hỏi:

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \frac{1}{n}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_3} = \frac{1}{6}\).

B. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

C. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số không tăng không giảm.

D. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về dãy số tăng, giảm để xét tính tăng giảm của dãy số: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*\).

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu \({u_{n + 1}}

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = \frac{{ - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}}

Do đó, \({u_{n + 1}}

Chọn D

Câu hỏi:

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào bị chặn?

A. \({u_n} = \frac{1}{{{9^n}}}\);

B. \({u_n} = {9^n}\);

C. \({u_n} = \sqrt {9n + 1} \);

D. \({u_n} = {n^9}\).

Hướng dẫn giải :

* Sử dụng kiến thức về dãy bị chặn để xét tính bị chặn của dãy số:

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M,\forall n \in \mathbb{N}*\).

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m,\forall n \in \mathbb{N}*\).

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số M và m sao cho \(m \le {u_n} \le M,\forall n \in \mathbb{N}*\).

Lời giải chi tiết :

Vì \(0

Chọn A.

Câu hỏi:

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào là dãy số tăng?

A. \({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\).

B. \({u_n} = \frac{1}{n}\).

C. \({u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}\).

D. \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về dãy số tăng để tìm dãy số tăng: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*\).

Lời giải chi tiết :

Xét dãy số: \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\)

Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{n + 1 + 1}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\)\( = \frac{{2{n^2} + 3n + 1 - 2{n^2} - 3n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0\;\forall n \in \mathbb{N}*\)

Do đó, \({u_{n + 1}} > {u_n}\;\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, dãy số \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\) là dãy số tăng.

Chọn D

Câu hỏi:

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = 3\) và \({u_2} = - 1\). Số hạng thứ ba của cấp số cộng đó là

A. \({u_3} = 4\).

B. \({u_3} = 2\).

C. \({u_3} = - 5\).

D. \({u_3} = 7\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về khái niệm cấp số cộng để tính: Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là: \({u_{n + 1}} = {u_n} + d\) với \(n \in \mathbb{N}*\). Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(d = {u_2} - {u_1} = - 1 - 3 = - 4\). Do đó, \({u_3} = {u_2} + d = - 1 - 4 = - 5\)

Chọn C

Câu hỏi:

Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 3\), công sai \(d = 5\). Số hạng thứ tư của cấp số cộng đó là

A. \({u_4} = 23\).

B. \({u_4} = 18\).

C. \({u_4} = 8\).

D. \({u_4} = 14\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về số hạng tổng quát của cấp số cộng để tính: Nếu một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,n \ge 2\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({u_4} = {u_1} + \left( {4 - 1} \right)d = 3 + 3.5 = 18\)

Chọn B

Câu hỏi:

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_4} = - 12,{u_{14}} = 18\). Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là

A. \({S_{16}} = - 24\).

B. \({S_{16}} = 26\).

C. \({S_{16}} = - 25\).

D. \({S_{16}} = 24\).

Hướng dẫn giải :

+ Sử dụng kiến thức về số hạng tổng quát của cấp số cộng để tính: Nếu một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,n \ge 2\).

+ Sử dụng kiến thức về tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng để tính: Nếu một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\), khi đó \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) hay \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = - 12\\{u_{14}} = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 12\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 21\\d = 3\end{array} \right.\)

Do đó, tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là:

\({S_{16}} = \frac{{16\left[ {2.\left( { - 21} \right) + \left( {16 - 1} \right).3} \right]}}{2} = 24\)

Chọn D

Câu hỏi:

Cho cấp số cộng: \( - 2; - 5; - 8; - 11; - 14;...\) Công sai d và tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó lần lượt là

A. \(d = 3;{S_{20}} = 510\).

B. \(d = - 3;{S_{20}} = - 610\).

C. \(d = - 3;{S_{20}} = 610\).

D. \(d = 3;{S_{20}} = - 610\).

Hướng dẫn giải :

+ Sử dụng kiến thức về khái niệm cấp số cộng để tính: Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là: \({u_{n + 1}} = {u_n} + d\) với \(n \in \mathbb{N}*\). Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

+Sử dụng kiến thức về tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng để tính: Nếu một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\), khi đó \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) hay \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(d = - 5 - \left( { - 2} \right) = - 3\).

Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

\({S_{20}} = \frac{{20\left[ {2.\left( { - 2} \right) + \left( {20 - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right]}}{2} = - 610\)

Chọn B

Câu hỏi:

Một cấp số nhân có sáu số hạng, số hạng đầu là 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Gọi q là công bội của cấp số nhân đó. Giá trị của q là

A. 3.

B. \( - 3\).

C. 2.

D. \( - 2\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về số hạng tổng quát của cấp số nhân để tính: Nếu một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({u_6} = {u_1}.{q^5} \Rightarrow 486 = 2.{q^5} \Rightarrow {q^5} = 243 = {3^5} \Rightarrow q = 3\)

Chọn A

Câu hỏi:

Một cấp số nhân có bốn số hạng, số hạng đầu là 3 và số hạng thứ tư là 192. Gọi S là tổng các số hạng của cấp số nhân đó. Giá trị của S là

A. 390.

B. 255.

C. 256.

D. \( - 256\).

Hướng dẫn giải :

+ Sử dụng kiến thức về số hạng tổng quát của cấp số nhân để tính: Nếu một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\).

+ Sử dụng kiến thức về tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân để tính: Giả sử \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\), khi đó \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({u_4} = {u_1}.{q^3} \Rightarrow 192 = 3{q^3} \Rightarrow {q^3} = 64 \Rightarrow q = 4\)

Do đó, \(S = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^4}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3.\left( {1 - {4^4}} \right)}}{{1 - 4}} = 255\)

Chọn B

Câu hỏi:

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. \({u_n} = 7 - 3n\).

B. \({u_n} = 7 - {3^n}\).

C. \({u_n} = \frac{7}{{3n}}\).

D. \({u_n} = {7.3^n}\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về khái niệm cấp số nhân để tìm cấp số nhân: Cấp số nhân là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi, nghĩa là: \({u_{n + 1}} = {u_n}.q\) với \(n \in \mathbb{N}*\). Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Lời giải chi tiết :

Xét dãy số: \({u_n} = {7.3^n}\)

Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{7.3}^{n + 1}}}}{{{{7.3}^n}}} = 3\) nên dãy số cho bởi số hạng tổng quát \({u_n} = {7.3^n}\) là cấp số nhân.

Chọn D