Bài 8 trang 63 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Một người chơi nhảy bungee trên một cây cầu với một sợi dây dài 100m. Sau mỗi lần rơi xuống...

Đề bài :

Một người chơi nhảy bungee trên một cây cầu với một sợi dây dài 100m. Sau mỗi lần rơi xuống, người chơi được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 80% so với lần rơi trước và lại rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên. Tính tổng quãng đường đi lên của người đó sau 10 lần được kéo lên.

Hướng dẫn giải :

+ Sử dụng kiến thức về số hạng tổng quát của cấp số nhân để tính: Nếu một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\).

+ Sử dụng kiến thức về tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân để tính: Giả sử \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\), khi đó \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\).

Lời giải chi tiết :

Gọi \({u_n}\) là quãng đường đi lên của người đó sau n lần kéo lên \(\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).

Sau lần kéo thứ nhất, quãng đường đi lên của người đó là: \({u_1} = 100.80\% = 80\left( m \right)\)

Sau lần kéo thứ hai, quãng đường đi lên của người đó là: \({u_2} = 80.80\% = 80.0,8\left( m \right)\)

Sau lần kéo thứ ba, quãng đường đi lên của người đó là: \({u_3} = 80.0,8.80\% = 80.0,{8^2}\left( m \right)\)

Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 80\) và công bội \(q = 0,8\).

Do đó, công thức tổng quát là: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = 80.0,{8^{n - 1}}\) (m)

Vậy tổng quãng đường đi lên của người đó sau 10 lần được kéo lên là:

\({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{80.\left( {1 - 0,{8^{10}}} \right)}}{{1 - 0,8}} \approx 357,05\left( m \right)\)