Bài 16 trang 80 SBT Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo: Một nhà mái vòm có mặt cát hình nửa elip cao 6 m, rộng 16 m...

Đề bài :

Một nhà mái vòm có mặt cát hình nửa elip cao 6 m, rộng 16 m

a) Hãy chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên

b) Tính khoảng cách thẳng đứng từ một điểm cách chân vách 4 m lên trên mái vòm

Phương pháp giải :

Phương trình Elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\) có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right)\)và có tiêu cự là \(2c\) với \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

Lời giải chi tiết :

a) Chọn hệ trục tọa độ có gốc là điểm chính giữa của chiều rộng mái vòm (thẳng đứng).

Gọi phương trình Elip là  \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Ta có: chiều cao của mái vòm là nửa trục nhỏ \( \Rightarrow b = 6\)

Độ rộng của mái vòm là độ dài trục lớn \( \Rightarrow 2a = 16 \Leftrightarrow a = 8\)

Vậy phương trình elip: \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)

b) Gọi M là điểm cách chân vách 4 m, suy ra \({x_M} = 8 - 4 = 4\)

Khoảng cách thẳng đứng từ điểm M lên đến mái vòm chính là \(\left| {{y_M}} \right|\)

M thuộc elip nên ta có: \(\frac{{16}}{{64}} + \frac{{{y_M}^2}}{{36}} = 1 \Rightarrow \frac{{{y_M}^2}}{{36}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \left| {{y_M}} \right| = \sqrt {36.\frac{3}{4}}  = 3\sqrt 3  \approx 5,2\left( m \right)\)

Vậy khoảng cách thẳng đứng từ điểm M lên đến mái vòm là 5,2 m