Giải mục 1 trang 18, 19 Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có hai nghiệm \({x_1}, {x_2}\)...

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 18

Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\).

Tính \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}.{x_2}\).

Hướng dẫn giải :

Dựa vào công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\).

+ Nếu \(\Delta \)> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}},{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\) để tính \({x_1} + {x_2}\), \({x_1}.{x_2}\)

Lời giải chi tiết :

\({x_1} + {x_2}\) = \(\frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} + \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = - \frac{{2b}}{{2a}} = - \frac{b}{a}\)

\({x_1}.{x_2}\)= \(\frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.\frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{{{( - b)}^2} - \Delta }}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - ({b^2} - 4ac)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}\)

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 19

Tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình:

a) \({x^2} - 2\sqrt 7 x + 7 = 0\)

b) \(15{x^2} - 2x - 7 = 0\)

c) \(35{x^2} - 12x + 2 = 0\)

Hướng dẫn giải :

Dựa vào: Nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\)có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì tổng và tích của hai nghiệm đó là:

S = \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\); P = \({x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\)

Lời giải chi tiết :

a) Ta có \(\Delta = {\left( { - 2\sqrt 7 } \right)^2} - 4.1.7 = 0\) nên phương trình có nghiệm kép \({x_1},{x_2}\). Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 2\sqrt 7 \), \({x_1}.{x_2} = 7\).

b) Ta có \(\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.15.( - 7) = 424 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{2}{{15}}\), \({x_1}.{x_2} = \frac{{ - 7}}{{15}}\).

c) Ta có \(\Delta = {\left( { - 12} \right)^2} - 4.35.2 = - 136 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 19

Cho phương trình \({x^2} + 4x - 21 = 0\). Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

a) \(\frac{2}{{{x_1}}} + \frac{2}{{{x_2}}}\)

b) \({x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}.{x_2}\)

Hướng dẫn giải :

Dựa vào: Nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\)có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì tổng và tích của hai nghiệm đó là:

S = \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\); P = \({x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\)

Lời giải chi tiết :

Phương trình \({x^2} + 4x - 21 = 0\) có \(\Delta = {4^2} - 4.( - 21) = 100 > 0\) nên nó có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có:

\({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - 4\);\({x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = - 21\)

a) Ta có \(\frac{2}{{{x_1}}} + \frac{2}{{{x_2}}} = \frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{{2.( - 4)}}{{ - 21}} = \frac{8}{{21}}\)

b) Ta có \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2\)

Suy ra \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {( - 4)^2} - 2.( - 21) = 58\).

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 19

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) \( - 315{x^2} - 27x + 342 = 0\)

b) \(2022{x^2} + 2023x + 1 = 0\)

Hướng dẫn giải :

Dựa vào: Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\)có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1\) , nghiệm còn lại là \({x_2} = \frac{c}{a}\).

Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\)có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = - 1\) , nghiệm còn lại là \({x_2} = - \frac{c}{a}\).

Lời giải chi tiết :

a) Phương trình \( - 315{x^2} - 27x + 342 = 0\)có a + b + c = -315 – 27 + 342 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = 1\); \({x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{342}}{{ - 315}} = - \frac{{38}}{{35}}\)

b) Phương trình \(2022{x^2} + 2023x + 1 = 0\) có a - b + c = 2022 – 2023 + 1 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = - 1\); \({x_2} = - \frac{c}{a} = - \frac{1}{{2022}}\).