Bài 8 trang 50 SBT Toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2: Cho hình bình hành ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD...

Đề bài :

Cho hình bình hành ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD. Vẽ MP//BD \(\left( {P \in AC} \right)\) và \(NQ//BD\left( {Q \in AC} \right)\). Phát biểu nào sau đây đúng?

A. \(AQ = QP = PC\).

B. O là trung điểm PQ.

C. MNPQ là hình bình hành.

D. MNPQ là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về tính chất của đường trung bình của tam giác để chứng minh: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD là hình bình hành nên \(AO = OC,OB = OD\)

Tam giác BOC có: M là trung điểm của BC, MP//BD nên \(CP = OP = \frac{1}{2}OC\)

Tam giác BOC có: M là trung điểm của BC, P là trung điểm của OC nên MP là đường trung bình của tam giác, do đó: \(MP = \frac{1}{2}OB\)

Tam giác AOD có: N là trung điểm của AD, \(NQ//BD\) nên \(AQ = OQ = \frac{1}{2}OA\)

Tam giác AOD có: N là trung điểm của AD, Q là trung điểm của OA nên NQ là đường trung bình của tam giác, do đó: \(QN = \frac{1}{2}OD\)

Vì \(AO = OC\), \(CP = OP = \frac{1}{2}OC\), \(AQ = OQ = \frac{1}{2}OA\) nên \(AQ = OQ = OP = PC\). Do đó, O là trung điểm của PQ.

Vì MP//QN (cùng song song với BD), \(MP = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{2}OD = QN\) nên tứ giác MPNQ là hình bình hành.

Chọn B.