Bài 7 trang 49 SBT Toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2: Cho hình vuông ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA (Hình 6)...

Đề bài :

Cho hình vuông ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA (Hình 6). Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. \({S_{MNPQ}} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}}\).

B. \({S_{MNPQ}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}\).

C. \({S_{MNPQ}} = {S_{ABCD}}\).

D. \({S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}\).

Hướng dẫn giải :

+ Sử dụng kiến thức diện tích hình vuông: Diện tích hình vuông có độ dài cạnh bằng a là: \(S = {a^2}\)

+ Sử dụng kiến thức diện tích tam giác vuông: Diện tích tam giác vuông bằng một nửa độ dài hai cạnh hình vuông.

Lời giải chi tiết :

Gọi độ dài cạnh của hình vuông ABCD bằng a.

Vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = {90^0},AB = BC = CD = DA = a\)

Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên \(AM = MB = BN = NC = PC = PD = QD = QA = \frac{a}{2}\)

Diện tích hình vuông ABCD là: \({S_{ABCD}} = A{B^2} = {a^2}\)

Diện tích tam giác vuông QAM vuông tại A là: \({S_1} = \frac{1}{2}AM.AQ = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^2}}}{8}\)

Diện tích tam giác vuông BNM vuông tại B là: \({S_2} = \frac{1}{2}BM.BN = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^2}}}{8}\)

Diện tích tam giác vuông PNC vuông tại C là: \({S_3} = \frac{1}{2}CN.PC = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^2}}}{8}\)

Diện tích tam giác vuông QDP vuông tại D là: \({S_4} = \frac{1}{2}DP.DQ = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^2}}}{8}\)

Do đó, \({S_{MNPQ}} = {S_{ABCD}} - {S_1} - {S_2} - {S_3} - {S_4} = {a^2} - 4.\frac{{{a^2}}}{8} = \frac{{{a^2}}}{2}\)

Suy ra: \({S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}\)

Chọn D.