Bài 15 trang 74 SBT Toán 8 - Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC cân tại A có \(BC = 6cm\). Gọi M, N...

Đề bài :

Cho tam giác ABC cân tại A có \(BC = 6cm\). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.

a) Tính độ dài MN. Chứng minh MBCN là hình thang cân.

b) Gọi K là điểm đối xứng của B qua N. Chứng minh tứ giác ABCK là hình bình hành.

c) Gọi H là điểm đối xứng của P qua M. Chứng minh AHBP là hình chữ nhật.

d) Chứng minh AMPN là hình thoi.

Hướng dẫn giải :

a) Sử dụng kiến thức: Đoạn thẳng đi qua trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh còn lại và có độ dài bằng \(\frac{1}{2}\) cạnh còn lại.

b) Sử dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình bình hành để chứng minh: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

c) Sử dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật để chứng minh: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

d) Sử dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình thoi để chứng minh: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.

Lời giải chi tiết :

Xét bài toán phụ: Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC. Lấy P đối xứng với M qua N. Chứng minh rằng MN//BC, \(MN = \frac{{BC}}{2}\)

Chứng minh:

Tam giác AMN và tam giác CPN có:

\(NA = NC\left( {gt} \right),\widehat {{N_1}} = \widehat {{N_2}}\) (hai góc đối đỉnh), \(NM = NP\) (gt). Do đó, \(\Delta ANM = \Delta CNP\left( {c - g - c} \right)\)

Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\), mà hai góc này ở vị trí so le trong nên CP//AB hay CP//BM

Lại có: \(CP = AM = BM\)

Tứ giác BMPC có: CP//BM, \(CP = BM\) nên tứ giác BMPC là hình bình hành. Do đó, MN//BC, \(MN = \frac{{BC}}{2}\)

Giải bài 15:

a) Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên theo bài toán phụ ta có: \(MN = \frac{1}{2}BC = 3cm\) và MN//BC

Tứ giác MNCB có: MN//BC nên MNCB là hình thang. Mà \(\widehat {MBC} = \widehat {NCB}\) (do tam giác ABC cân tại A) nên MBCN là hình thang cân

b) Vì K là điểm đối xứng của B qua N nên N là trung điểm của BK. Mà N là trung điểm của AC (gt)

Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành.

c) Vì H là điểm đối xứng của P qua M nên M là trung điểm của HP. Mà M là trung điểm của AB nên tứ giác AHBP là hình bình hành. Lại có \(\widehat {APB} = {90^0}\) (tam giác ABC cân tại A nên AP là đường trung tuyến đồng thời là đường cao). Vậy AHBP là hình chữ nhật.

d) Vì M, P lần lượt là trung điểm của AB, BC nên theo bài toán phụ ta có: \(MP = \frac{1}{2}AC\)

Vì N, P lần lượt là trung điểm của AC, BC nên theo bài toán phụ ta có: \(NP = \frac{1}{2}AB\)

Lại có: \(AM = \frac{1}{2}AB,AN = \frac{1}{2}AC,AB = AC\) nên \(AM = AN = MP = PN\) nên tứ giác AMPN là hình thoi.