Bài 7 trang 25 SBT Toán 8 - Chân trời sáng tạo: Thu gọn các biểu thức sau: \(\frac{{16 - {a^2}}}{{{a^2} + 8a + 16}}: \frac{{a - 4}}{{2a + 4}}...

Đề bài :

Thu gọn các biểu thức sau:

a) \(\frac{{16 - {a^2}}}{{{a^2} + 8a + 16}}:\frac{{a - 4}}{{2a + 4}}.\frac{{a + 4}}{{a + 2}}\);

b) \(\frac{{{a^2} - ab + {b^2}}}{{{b^2} - {a^2}}}.\frac{{a + b}}{{{a^3} + {b^3}}}:\frac{{a + b}}{{a - b}}\);

c) \(\left( {\frac{{2a}}{{a - 2}} - \frac{a}{{a + 2}}} \right).\frac{{{a^2} - 4}}{a}\);

d) \(\left( {\frac{1}{{{a^2}}} - \frac{1}{{ab}}} \right).\frac{{a{b^2}}}{{a - b}}\).

Hướng dẫn giải :

+ Sử dụng kiến thức nhân hai phân thức để tính: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau: \(\frac{A}{B}.\frac{C}{D} = \frac{{A.C}}{{B.D}}\)

+ Sử dụng kiến thức chia hai phân thức để tính: Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\) (C khác đa thức không), ta nhân phân thức \(\frac{A}{B}\) với phân thức \(\frac{D}{C}\): \(\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B}.\frac{D}{C}\)

Lời giải chi tiết :

a) \(\frac{{16 - {a^2}}}{{{a^2} + 8a + 16}}:\frac{{a - 4}}{{2a + 4}}.\frac{{a + 4}}{{a + 2}} = \frac{{\left( {4 - a} \right)\left( {a + 4} \right)}}{{{{\left( {a + 4} \right)}^2}}}.\frac{{a + 4}}{{a + 2}}:\frac{{a - 4}}{{2a + 4}}\)

\( = \frac{{\left( {4 - a} \right)\left( {4 + a} \right)\left( {a + 4} \right)}}{{{{\left( {a + 4} \right)}^2}.\left( {a + 2} \right)}}.\frac{{2\left( {a + 2} \right)}}{{a - 4}} = \frac{{\left( {4 - a} \right)2\left( {a + 2} \right)}}{{\left( {a + 2} \right)\left( {a - 4} \right)}} = - 2\)

b) \(\frac{{{a^2} - ab + {b^2}}}{{{b^2} - {a^2}}}.\frac{{a + b}}{{{a^3} + {b^3}}}:\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{{a^2} - ab + {b^2}}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right)}}.\frac{{a + b}}{{\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)}}.\frac{{a - b}}{{a + b}}\)

\( = \frac{{\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\left( {a - b} \right)}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\left( {a + b} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {b + a} \right)}^2}}}\)

c) \(\left( {\frac{{2a}}{{a - 2}} - \frac{a}{{a + 2}}} \right).\frac{{{a^2} - 4}}{a} = \left[ {\frac{{2a\left( {a + 2} \right)}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {a + 2} \right)}} - \frac{{a\left( {a - 2} \right)}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {a + 2} \right)}}} \right].\frac{{\left( {a - 2} \right)\left( {a + 2} \right)}}{a}\)

\( = \frac{{2{a^2} + 4a - {a^2} + 2a}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {a + 2} \right)}}.\frac{{\left( {a - 2} \right)\left( {a + 2} \right)}}{a} = \frac{{{a^2} + 6a}}{a} = \frac{{a\left( {a + 6} \right)}}{a} = a + 6\)

d) \(\left( {\frac{1}{{{a^2}}} - \frac{1}{{ab}}} \right).\frac{{a{b^2}}}{{a - b}} = \frac{{b - a}}{{{a^2}b}}.\frac{{a{b^2}}}{{a - b}} = \frac{{ - \left( {a - b} \right)a{b^2}}}{{{a^2}b\left( {a - b} \right)}} = \frac{{ - b}}{a}\).