Bài 10 trang 85 Toán 8 tập 2– Chân trời sáng tạo: Cho hình thang \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\), biết \(\widehat {ADB} = \widehat {DCB}\) (Hình 2a)...

Đề bài :

a) Cho hình thang \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\), biết \(\widehat {ADB} = \widehat {DCB}\) (Hình 2a).

Chứng minh rằng \(B{D^2} = AB.CD\).

b) Cho hình thang \(EFGH\left( {FF//GH} \right),\widehat {HEF} = \widehat {HFG},EF = 9m,GH = 16m\) (Hình 2b).

Tính độ dài \(x\) của \(HF\).

Hướng dẫn giải :

- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

- Nếu \(\Delta ABC\backsim\Delta A’B’C’\) thì \(\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{AC}}{{A’C’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}} = k\)

Lời giải chi tiết :

a) Vì \(ABCD\) là hình thang có \(AB//CD\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (hai góc so le trong)

Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(BDC\) có:

\(\widehat {ADB} = \widehat {DCB}\) (giả thuyết)

\(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta ABD\backsim\Delta BDC\) (g.g)

Suy ra, \(\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{CD}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra, \(B{D^2} = AB.CD\).

b) Vì \(EFGH\) là hình thang có \(FF//GH\)nên \(\widehat {EFH} = \widehat {FHG}\) (hai góc so le trong)

Xét tam giác \(EFH\) và tam giác \(FHG\) có:

\(\widehat {HEF} = \widehat {HFG}\) (giả thuyết)

\(\widehat {EFH} = \widehat {FHG}\) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta EFH\backsim\Delta FHG\) (g.g)

Suy ra, \(\frac{{EF}}{{FH}} = \frac{{FH}}{{HG}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra, \(F{H^2} = EF.HG = 9.16 = 144 \Rightarrow FH = \sqrt {144} = 12\).

Vậy \(FH = 12cm\).