Trang chủ Lớp 12 SGK Toán 12 - Kết nối tri thức Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian Giải mục 2 trang 69, 70 Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: câu hỏi 3 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức Trong không gian Oxyz...

Giải mục 2 trang 69, 70 Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: câu hỏi 3 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức Trong không gian Oxyz...

. Lời Giải HĐ3, LT3, LT4 mục 2 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng...

Câu hỏi:

Hoạt động3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x’;y’;z’} \right)\).

a) Giải thích vì sao \(\overrightarrow i .\overrightarrow i = 1\) và \(\overrightarrow i .\overrightarrow j = \overrightarrow i .\overrightarrow k = 0\).

b) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow i ;\overrightarrow a .\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow k \).

c) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow b = x’\overrightarrow i + y’\overrightarrow j + z’\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức sau: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó, \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\)

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: \(\overrightarrow i .\overrightarrow i = \left| {\overrightarrow i } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|.\cos {0^0} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} = 1\)

Vì \(\overrightarrow i \bot \overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow j = 0;\overrightarrow i \bot \overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow k = 0\)

b) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow i = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow i = x.{\overrightarrow i ^2} + y\overrightarrow {.j} .\overrightarrow i + z.\overrightarrow k .\overrightarrow i = x\)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow j = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow j = x\overrightarrow i .\overrightarrow j + y{\overrightarrow j ^2} + z\overrightarrow k .\overrightarrow j = y\)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow k = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right).\overrightarrow k = x\overrightarrow i .\overrightarrow k + y\overrightarrow j .\overrightarrow k + z.{\overrightarrow k ^2} = z\)

c) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right).\left( {x’\overrightarrow i + y’\overrightarrow j + z’\overrightarrow k } \right)\)

\( = xx'{\overrightarrow i ^2} + xy’.\overrightarrow i .\overrightarrow j + xz’\overrightarrow i .\overrightarrow k + x’y.\overrightarrow i .\overrightarrow j + yy’.{\overrightarrow j ^2} + yz’\overrightarrow j .\overrightarrow k + zx’.\overrightarrow k .\overrightarrow i + zy’.\overrightarrow k \overrightarrow j + zz'{\overrightarrow k ^2}\)

Mà \(\overrightarrow i .\overrightarrow k = 0;\overrightarrow i .\overrightarrow j = 0;\overrightarrow j .\overrightarrow k = 0\) nên: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx’ + yy’ + zz’\)


Câu hỏi:

Luyện tập3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong Ví dụ 3, tính \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2}\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x’;y’;z’} \right)\). Ta có:

+ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {x + x’;y + y’;z + z’} \right)\)

+ \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.

+ \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx’ + yy’ + zz’\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({\overrightarrow a ^2} = {1^2} + {4^2} + {2^2} = 21;{\overrightarrow b ^2} = {\left( { - 4} \right)^2} + {1^2} + 0 = 17;\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)

Do đó, \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} = 21 + 2.0 + 17 = 38\)


Câu hỏi:

Luyện tập4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 70SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {0;2;1} \right),B\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(C\left( { - 2;5;7} \right)\).

a) Tính chu vi của tam giác ABC.

b) Tính \(\widehat {BAC}\).

Hướng dẫn giải :

a) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) thì \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \)

b) Sử dụng kiến thức về cosin góc của 2 vectơ trong không gian để tính: Nếu \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x’;y’;z’} \right)\) là hai vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) thì \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{xx’ + yy’ + zz’}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} .\sqrt {x{‘^2} + y{‘^2} + z{‘^2}} }}\)

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {3; - 4;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5;\)

\(\overrightarrow {AC} \left( { - 2;3;6} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} + {6^2}} = 7\)

Vậy chu vi tam giác ABC là:

b) Vì \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{3.\left( { - 2} \right) + \left( { - 4} \right).3 + 0.6}}{{5.7}} = \frac{{ - 18}}{{35}} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) \approx 120,{9^0}\)

Nên \(\widehat {BAC} = {180^0} - 120,{9^0} = 59,{1^0}\).

Dụng cụ học tập

Để học tốt môn Toán, chúng ta cần có sách giáo khoa, vở bài tập, bút chì, bút mực, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay và giấy nháp.

Chia sẻ

Chia sẻ qua Facebook Chia sẻ

Sách Giáo Khoa: Kết nối tri thức với cuộc sống

- Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống được biên soạn cho tất cả học sinh phổ thông trên mọi miền của đất nước, giúp các em hình thành và phát triển những phẩm chất và năng lực cần có đối với người công dân Việt Nam trong thế kỉ XXI. Với thông điệp “Kết nối tri thức với cuộc sống”, bộ SGK này được biên soạn theo mô hình hiện đại, chú trọng vai trò của kiến thức, nhưng kiến thức cần được “kết nối với cuộc sống”, bảo đảm: 1) phù hợp với người học; 2) cập nhật những thành tựu khoa học hiện đại, phù hợp nền tảng văn hóa và thực tiễn Việt Nam; 3) giúp người học vận dụng để giải quyết những vấn đề của đời sống: đời sống cá nhân và xã hội, đời sống tinh thần (đạo đức, giá trị nhân văn) và vật chất (kĩ năng, nghề nghiệp).

Đọc sách

Bạn có biết?

Toán học, được ví như "ngôn ngữ của vũ trụ", không chỉ là môn học về số và hình học. Đó là lĩnh vực nghiên cứu trừu tượng về các cấu trúc, không gian và phép biến đổi, góp phần quan trọng vào việc giải mã các hiện tượng tự nhiên và phát triển công nghệ.

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 12

Lớp 12 - Năm cuối của thời học sinh, với nhiều kỳ vọng và áp lực. Đừng quá lo lắng, hãy tự tin và cố gắng hết sức mình. Thành công sẽ đến với những ai nỗ lực không ngừng!

- Học nhưng cũng chú ý sức khỏe nhé!. Chúc các bạn học tập tốt.

Nguồn : Sưu tập

Copyright © 2024 Giai BT SGK