Bài 39 trang 72 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hình chóp \(S. ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\), đường thẳng \(SA\)...

Đề bài :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\), đường thẳng \(SA\). vuông góc vói mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 2 \).

a) Chứng minh rằng \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

b) Tính góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Tính theo \(a\) khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Hướng dẫn giải :

a) Chứng minh \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

b) Tìm hình chiếu vuông góc của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AC\),

Suy ra góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(AC\).

Chứng minh tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(A\), suy ra \(\widehat {SCA}\)

c) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(SB\) tại \(H\), chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

Suy ra khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(AH\).

Xét tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\), tính đường cao \(AH\)

Lời giải chi tiết :

a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

b) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên đường thẳng \(AC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), do đó góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giứa hai đường thẳng \(SC\) và \(AC\).

Ta có: \(SA \bot AC\) và \(SA = AC = a\sqrt 2 \) nên tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(A\), suy ra góc giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(AC\) bằng \({45^ \circ }\).

Vậy góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({45^ \circ }\).

c) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(SB\) tại \(H\), vì \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot AH\), suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

Do đó khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(AH\).

Xét tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\), khi đó:

\(AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{SB}} = \frac{{a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)