Bài 38 trang 71 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Hai biến cố \(A\) và \(B\) có độc lập hay không?...

Đề bài :

Gieo hai xúc xắc I và II cân đối, đồng chất một cách độc lập. Xét các biến cố \(A,B\) sau đây:

\(A\): "Có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

\(B\): "Tổng số chấm xuất hiện trên mặt của hai xúc xắc bằng 7 ".

a) Tính \(P\left( A \right),P\left( B \right)\).

b) Hai biến cố \(A\) và \(B\) có độc lập hay không?

Hướng dẫn giải :

\(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\)

a) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho \(B\) \( \Rightarrow n\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)

Tìm kết quả thuận lợi cho \(A\) \( \Rightarrow n\left( A \right) \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)

b) Xét biến cố \(AB\): "Tổng số chấm xuất hiện trên mặt của hai xúc xắc bằng 7, trong đó có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm.”

Liệt kê các kết quả thuận lợi cho\(AB\)

Từ đó suy ra \(P\left( {AB} \right)\).

Kiểm tra nếu \(P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right)P\left( B \right)\) suy ra \(A,B\) không độc lập.

Kiểm tra nếu \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right)\) suy ra \(A,B\) độc lập.

Lời giải chi tiết :

\(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\)

a) Các kết quả thuận lợi cho \(B\) là: \(\left( {1,6} \right);\left( {2,5} \right);\left( {3,4} \right);\left( {4,3} \right);\left( {5,2} \right);\left( {6,1} \right)\).

Vậy \(P\left( B \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).

Các kết quả thuận lợi cho \(A\) là\(\left( {1,6} \right);\left( {2,6} \right);\left( {3,6} \right);\left( {4,6} \right);\left( {5,6} \right);\left( {6,6} \right);\left( {6;1} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right)\).

\(n\left( A \right) = 11 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{11}}{{36}}\).

b) Xét biến cố \(AB\): "Tổng số chấm xuất hiện trên mặt của hai xúc xắc bằng 7, trong đó có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm.”

Các kết quả thuận lợi cho \(AB\) là \(\left( {1,6} \right);\left( {6,1} \right)\).

Do đó: \(P\left( {AB} \right) = \frac{2}{{36}} = \frac{1}{{18}}\).

Lại có \(P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{{11}}{{36}} \cdot \frac{1}{6} = \frac{{11}}{{216}}\).

Suy ra \(P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right)P\left( B \right)\). Vậy \(A,B\) không độc lập.