Bài 11 trang 82 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống: Nếu thay điều kiện \(\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{1}{3}\) và \(\frac{{NB}}{{NC}} = \frac{1}{3}\) bằng điều kiện CM là phân giác của ...

Đề bài :

Cho tam giác ABC. Giả sử M là điểm trên cạnh AB sao cho \(\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{1}{3}\), N là điểm trên cạnh BC sao cho \(\frac{{NB}}{{NC}} = \frac{1}{3}.\)

a) Chứng minh MN//AC và \(MN = \frac{1}{4}AC\).

b) Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh \(\frac{{KN}}{{KA}} = \frac{{KM}}{{KC}} = \frac{1}{4}\).

c) Nếu thay điều kiện \(\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{1}{3}\) và \(\frac{{NB}}{{NC}} = \frac{1}{3}\) bằng điều kiện CM là phân giác của góc C, AN là phân giác của góc A thì tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để MN//AC?

Hướng dẫn giải :

a) + Sử dụng kiến thức định lí Thalés đảo để chứng minh MN//AC: Nếu một đường cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

+ Sử dụng kiến thức định lí (một trường hợp đặc biệt của hai tam giác đồng dạng) để chứng minh hai tam giác đồng dạng: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

b) Sử dụng kiến thức định lí (một trường hợp đặc biệt của hai tam giác đồng dạng) để chứng minh hai tam giác đồng dạng: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

c) Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tìm điều kiện của tam giác ABC: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.

Lời giải chi tiết :

a) Xét tam giác ABC có: \(\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NB}}{{NC}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\) nên MN//AC (định lí Thalés đảo)

Tam giác ABC có: MN//AC nên

Do đó,\(\frac{{MN}}{{AC}} = \frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{BM}}{{BM + MA}} = \frac{{BM}}{{4BM}} = \frac{1}{4}\) nên \(MN = \frac{1}{4}AC\)

b) Tam giác MNK có: MN//AC nên , do đó \(\frac{{KN}}{{KA}} = \frac{{KM}}{{KC}} = \frac{{MN}}{{AC}} = \frac{1}{4}\)

c) Nếu MN//AC thì \(\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NB}}{{NC}}\) (1)

Vì CM là phân giác của góc BCA trong tam giác ABC nên \(\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{BC}}{{AC}}\) (2)

Vì AN là phân giác của góc BAC trong tam giác ABC nên \(\frac{{NB}}{{NC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BC}}{{AC}}\) nên \(AB = BC\)

Do đó, tam giác ABC cân tại B.

Ngược lại, nếu tam giác ABC cân tại B, CM là phân giác của góc C, AN là phân giác góc A thì dễ thấy MN//AC.

Vậy để MN//AC thì điều kiện là tam giác ABC cân tại B.