Bài 9 trang 82 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống: Tứ giác AMNP là hình gì?...

Đề bài :

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Từ M kẻ đường thẳng song song với BP, đường thẳng này cắt NP tại K.

a) Tứ giác AMNP là hình gì?

b) Chứng minh tứ giác BMKP là hình bình hành.

c) Chứng minh tứ giác ANCK là hình thoi.

d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ANCK là hình vuông.

Hướng dẫn giải :

a, b) Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành để chứng minh tứ giác AMNP, tứ giác BMKP là hình bình hành: Tứ giác có các cạnh cặp cạnh đối song song là hình bình hành.

c) Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi là để chứng minh tứ giác ANCK là hình thoi: Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường là hình thoi.

d) Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình vuông để tìm điều kiện của tam giác ABC sao cho tứ giác ANCK là hình vuông: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Lời giải chi tiết :

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = {90^0}\).

Vì P, N lần lượt là trung điểm của AC, BC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra PN//AB và \(PN = \frac{1}{2}AB = AM = MB\) (1)

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN//AC.

Vì NP//AM (cmt), NM//AP (cmt) nên tứ giác AMNP là hình bình hành, mà \(\widehat {PAM} = {90^0}\) (cmt) nên tứ giác AMNP là hình chữ nhật.

b) Tứ giác BMKP có: BM//KP (cmt), BP//KM (gt) nên tứ giác BMKP là hình bình hành.

c) Vì tứ giác BMKP là hình bình hành nên \(KP = MB\)(2)

Từ (1) và (2) ta có: \(KP = PN\)

Vì PN//AB (cmt), mà \(AB \bot AC\) nên \(KN \bot AC\) tại P.

Tứ giác ANCK có: \(KN \bot AC\) tại P, \(KP = PN\), \(AP = PC\) (gt). Do đó, tứ giác ANCK là hình thoi

d) Để hình thoi ANCK là hình vuông thì \(AC = KN\)

Mà \(KN = KP + NP = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AB = AB\)

Do đó, \(AC = AB\)

Mà tam giác ABC vuông tại A. Do đó, tam giác ABC vuông cân tại A.

Vậy khi tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác ANCK là hình vuông.