Bài 12 trang 82 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Lấy E, F lần lượt trên AB, AC sao cho HE...

Đề bài :

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Lấy E, F lần lượt trên AB, AC sao cho HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Lấy điểm D trên EF sao cho AD vuông góc với EF. Đường thẳng AD cắt BC tại M. Chứng minh rằng:

a) \(AE.AB = AF.AC\)

b) $\Delta ADE\backsim \Delta AHC$ và $\Delta ANF\backsim \Delta AMB$ ($\Delta ANF\backsim \Delta AMB$ không chứng minh được vì đề bài không cho vị trí của điểm N).

Hướng dẫn giải :

a) Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng góc – góc) để chứng minh: Nếu hai góc của tam giác lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

b) + Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh) để chứng minh: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

+ Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng góc – góc) để chứng minh: Nếu hai góc của tam giác lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

a) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0}\)

Vì HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC nên \(HE \bot AB,HF \bot AC\)

Do đó, \(\widehat {HEB} = \widehat {HEA} = \widehat {HFA} = \widehat {HFC} = {90^0}\)

Tam giác HEA và tam giác BHA có:

\(\widehat {HEA} = \widehat {AHB} = {90^0},\widehat {BAH}\;chung\)

Do đó, $\Delta HEA\backsim \Delta BHA\left( g-g \right)$

Suy ra: \(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) nên \(AE.AB = A{H^2}\left( 1 \right)\)

Tam giác HFA và tam giác CHA có:

\(\widehat {HFA} = \widehat {AHC} = {90^0},\widehat {CAH}\;chung\)

Do đó, $\Delta HFA\backsim \Delta CHA\left( g-g \right)$

Suy ra: \(\frac{{AF}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) nên \(AF.AC = A{H^2}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(AE.AB = AF.AC\)

b) Vì \(AE.AB = AF.AC\) nên \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\)

Tam giác AEF và tam giác ACB có: \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}},\widehat {BAC}\;chung\)

Do đó, $\Delta AEF\backsim \Delta ACB\left( c-g-c \right)$, suy ra, \(\widehat {AEF} = \widehat C\)

Tam giác AED và tam giác ACH có:

\(\widehat {ADE} = \widehat {AHC} = {90^0},\widehat {AEF} = \widehat C\left( {cmt} \right)\)

Do đó, $\Delta ADE\backsim \Delta AHC\left( g-g \right)$