Bài 14 trang 83 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy \(AB = 10cm, \) cạnh bên \(SD = 15cm\)...

Đề bài :

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy \(AB = 10cm,\) cạnh bên \(SD = 15cm\). Gọi O là giao điểm của AC và BD, M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Chứng minh \(SO \bot MN.\) Từ đó tính độ dài đường cao SO của hình chóp.

b) Tính thể tích của hình chóp.

c) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

Hướng dẫn giải :

a) - Sử dụng kiến thức về hình chóp tứ giác đều hình chóp tứ giác đều: Hình chóp tứ giác đều có:

+ Mặt đáy là hình vuông.

+ Mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung một đỉnh.

+ Đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp và giao điểm của hai đường chéo của mặt đáy gọi là đường cao của hình chóp tứ giác đều.

+ Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp tứ giác đều.

- Sử dụng định lí Pythagore để tính đường cao SO.

b) Sử dụng kiến thức về thể tích của hình chóp tứ giác đều để tính thể tích hình chóp: Thể tích của hình chóp tam giác đều bằng \(\frac{1}{3}\) tích của diện tích đáy với chiều cao của nó.

c) + Sử dụng kiến thức về diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều để tính diện tích xung quanh hình chóp: Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn.

+ Sử dụng kiến thức về diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều để tính diện tích toàn phần hình chóp: Diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích của mặt đáy

Lời giải chi tiết :

a) Vì các mặt bên của hình chóp tứ giác đều là các tam giác cân bằng nhau nên các đường trung tuyến tương ứng của chúng bằng nhau, tức là \(SM = SN\). Tam giác SMN là tam giác cân tại S và O là trung điểm của MN nên \(SO \bot MN.\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 200\) nên \(AC = 10\sqrt 2 cm\)

Do đó, \(OA = \frac{1}{2}AC = 5\sqrt 2 cm\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SOA vuông tại O có: \(A{O^2} + S{O^2} = S{A^2}\) nên \(S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} = 175\) nên \(SO = \sqrt {175} = 5\sqrt 7 cm\)

b) Thể tích của hình chóp đều S.ABCD là:

\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.5\sqrt 7 {.10^2} = \frac{{500\sqrt 7 }}{3}\left( {c{m^3}} \right)\)

c) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SMA vuông tại M có: \(S{M^2} + A{M^2} = S{A^2}\)

Do đó, \(S{M^2} = S{A^2} - A{M^2} = 200\) nên \(SM = 10\sqrt 2 cm\)

Nửa chu vi đáy là: \(p = 20cm\)

Diện tích xung quanh của hình chóp là: \({S_{xq}} = SM.p = 10\sqrt 2 .20 = 200\sqrt 2 \left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích đáy ABCD là: \({S_{ABCD}} = {10^2} = 100\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD là:

\({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{ABCD}} = 200\sqrt 2 + 100 = 100\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {c{m^2}} \right)\)