Bài 4.18 trang 55 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống: Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB (E khác A và B)...

Đề bài :

Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB (E khác A và B), điểm F thuộc cạnh AD (F khác A và D). Đường thẳng qua D song song với EF cắt AC tại I. Đường thẳng qua B song song với EF cắt AC tại K.

a) Chứng minh rằng \(AI = CK\).

b) Gọi N là giao điểm của EF và AC. Chứng minh rằng: \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AN}}\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về định lí Thalès để chứng minh: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD là hình bình hành nên \(AD = BC\), AD//BC nên \(\widehat {IAD} = \widehat {KCB}\) (so le trong) (1)

Vì NF//ID (gt) nên \(\widehat {ANF} = \widehat {AID}\) (đồng vị)

Vì EN//BK (gt) nên \(\widehat {BKC} = \widehat {ENC}\) (đồng vị)

Mà \(\widehat {ANF} = \widehat {ENC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó, \(\widehat {AID} = \widehat {BKC}\) (2)

Tam giác BKC có: \(\widehat {KCB} + \widehat {BKC} + \widehat {CBK} = {180^0}\) (3)

Tam giác AID có: \(\widehat {IAD} + \widehat {AID} + \widehat {ADI} = {180^0}\) (4)

Từ (1), (2), (3), (4) ta có: \(\widehat {ADI} = \widehat {KBC}\)

Tam giác AID và tam giác CKB có:

\(\widehat {ADI} = \widehat {KBC}\) (cmt), \(AD = BC\)(cmt), \(\widehat {IAD} = \widehat {KCB}\) (cmt)

Do đó, \(\Delta AID = \Delta CKB\left( {g - c - g} \right) \Rightarrow AI = CK\)

b) Tam giác ABK có EN//BK (gt) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AK}}{{AN}}\)

Tam giác ADI có FN//DI (gt) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{AI}}{{AN}}\)

Do đó, \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{AK}}{{AN}} + \frac{{AI}}{{AN}} = \frac{{AK + AI}}{{AN}}\)

Mà \(AI = CK\) (cmt) nên \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{AK + CK}}{{AN}} = \frac{{AC}}{{AN}}\)