Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm AB . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ Ax $\bot$ AB, By $\bot$ AB . Trên tia Ax, By thứ tự lấy các điểm C, D sao cho OC $\bot$ OD .Gọi M là hình chiếu O trên CD
a) Chứng minh  AC . BD  = $\dfrac{AB^2 }{4}$
b) Chứng minh CO là tia phân giác $\widehat{ACM}$
c) Chứng minh $OM^2$ = AC . BD
d) Giả sử AB= a , AC = $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ . Giải $\triangle$ OCD

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta OAC, \Delta OBD$ có:

$\hat A=\hat B(=90^o)$

$\widehat{COA}=180^o-\widehat{COD}-\widehat{DOB}=90^o-\widehat{DOB}$

$\to \Delta OAC\sim\Delta DBO(g.g)$

$\to \dfrac{AC}{BO}=\dfrac{OA}{BD}$

Vì $O$ là trung điểm $AB\to OA=OB=\dfrac12AB$

$\to AC.BD=OA.OB=\dfrac12AB.\dfrac12AB=\dfrac{AB^2}4$

b.Từ a $\to \dfrac{OC}{OD}=\dfrac{AC}{OB}$

$\to \dfrac{OC}{OD}=\dfrac{AC}{OA}$

Mà $\widehat{COD}=\widehat{CAO}(=90^o)$

$\to \Delta COD\sim\Delta CAO(c.g.c)$

$\to \widehat{OCA}=\widehat{OCD}$

$\to CO$ là phân giác $\widehat{ACD}$

c.Vì $CO$ là phân giác $\widehat{ACD}$

       $OA\perp CA,OM\perp CD$

$\to OA=OM$

Mà $AC.DB=OA.OB$ (câu a)

$\to AC.BD=OA^2=OM^2$

d.Ta có: $CM=\sqrt{CO^2-OM^2}=\sqrt{OC^2-OA^2}=AC^2$

$\to CM=AC=\dfrac{a\sqrt3}2$

Ta có: $OM=OA=\dfrac12AB=\dfrac12a$

$\to OC=\sqrt{CM^2+OA^2}=\sqrt{(\dfrac{a\sqrt3}2)^2+(\dfrac12a)^2}=a$

$\to \sin \widehat{OCD}=\sin\widehat{OCM}=\dfrac{OM}{OC}=\dfrac12$

$\to \widehat{OCD}=30^o$

$\to \widehat{ODC}=90^o-\widehat{OCD}=60^o$

Vì $\Delta COD$ vuông tại $O, OM\perp CD$

$\to CO^2=CM.CD$

$\to CD=\dfrac{OC^2}{CM}=\dfrac{a^2}{\dfrac{a\sqrt3}2}=\dfrac{2a}{\sqrt3}$

$\to OD=\sqrt{CD^2-CO^2}=\sqrt{(\dfrac{2a}{\sqrt3})^2-a^2}=\dfrac{a}{\sqrt3}$