Bài 95: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nhỏ có khối lượng 250g và lò xo có độ cứng 100N/m. Bỏ qua mọi ma sát. Ban đầu, giữ vật ở vị trí lò xo nén 1cm. Buông nhẹ vật, đồng thời tác dụng vào một lực F= 3N không đổi có hướng dọc theo trục lò xo và làm lò xo dân. Sau khoảng thời gian π/40s thi ngừng tác dụng lực. Kể từ thời điểm bắt đầu dao động đến khi vật đạt tốc độ lớn nhất lần đầu tiên, tỉ số giữa tốc độ cực đại và tốc độ trung bình của vật?

Đáp án:

Tỉ số giữa tốc độ cực đại và tốc độ trung bình của vật là `1,85`

Giải thích các bước giải:

      `m = 250 (g) = 0,25 (kg)`

      $k = 100 (N/m)$

      `\Deltal_0 = 1 (cm)`

Tần số góc của dao động là:

      `omega = \sqrt[k/m] = \sqrt[100/[0,25]]  = 20` $(rad/s)$

Chu kỳ dao động của vật là:

      `T = [2pi]/omega = [2pi]/[20] = pi/10 (s)`

Khi tác dụng một lực `F = 3(N)` theo trục lò xo và làm lò xo dãn, độ dãn của lò xo tại VTCB là:

      `\Deltal = F/k = 3/100 = 0,03 (m) = 3 (cm)`

Chọn mốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương trục tọa độ cùng chiều `vecF`.

Tại thời điểm ban đầu:

      $\begin{cases} x_0 = - \Delta{l_0} - \Delta{l} = -  1 -3 = -4 (cm)\\v_0 = 0 \end{cases}$ `to` $\begin{cases} A = 4 (cm)\\\varphi_0 = \pi (rad) \end{cases}$

`to` Phương trình dao động của vật là:

      `x = A cos(omegat + \varphi_0) = 4 cos(20t + pi)`    $(cm)$

Sau khoảng thời gian `t = pi/40 (s),`pha dao động của vật là:

      `\varphi = omegat + \varphi_0 = 20. pi/40 + pi = [3pi]/2 (rad)`

`to` Li độ và vận tốc của vật tại cuối khoảng thời gian đó là:

      $\begin{cases} x_1 = 4cos(\dfrac{3pi}{2}) = 0 (cm)\\v_1 = v_{max} = \omega A = 20.4 = 80 (cm/s) \end{cases}$

Khi ngừng tác dụng lực, độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng mới bằng `0`.

Chọn mốc thời gian lúc vật lực `vecF` vừa ngừng tác dụng, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng mới, chiều dương trục tọa độ vẫn như ban đầu.

Tại thời điểm ban đầu:

      $\begin{cases} x_0' = \Delta{l} + x_1=3 + 0  = 3 (cm)\\v_0' = v_1 = 80 (cm/s)\end{cases}$

Biên độ dao động của vật là:

      `A' = \sqrt[x_0'^2 + ([v_0']/omega)^2] = \sqrt[3^3 + (80/20)^2] = 5 (cm)`

Pha ban đầu của vật là `varphi_0' (rad)`

      `cos(\varphi) = [x_0']/[A'] = 3/5` và vật chuyển động theo chiều dương

`=> varphi ≈- 0,927 (rad)`

`to` Phương trình dao động của vật là:

      `x' = A' cos(omegat + \varphi_0') = 5 cos(20t - 0,927)`    $(cm)$

Tốc độ lớn nhất của vật khi ngừng tác dụng lực `vecF` là: 

      `v_[max]' = omegaA' = 20.5 = 100` $(cm/s)$`

`=> v_[max]' > v_[max] = 80` $(cm/s)$

`to` Vật có tốc độ lớn nhất lần đầu tiên sau khi ngừng tác dụng lực `vecF` khi từ mốc thời gian trên vật đi đến biên dương rồi đến VTCB theo chiều âm., thời gian vật dao động trong quá trình này là:

      `t_2 = [pi/2 - (- 0,927)]/omega = [pi/2 + 0,927]/20  (s)`

Kể từ thời điểm bắt đầu dao động đến khi vật đạt tốc độ lớn nhất lần đầu tiên:

Tốc độ cực đại của vật là `v_[max]' = 100` $(cm/s)$

Quãng đường chuyển động và thời gian chuyển động trong quá trình này là:

      `S = \Deltal_0 + 2A' = 1 + 5.2 = 11 (cm)`

      `t = t_1 + t_2 = pi/40 + [pi/2 + 0,927]/20 = [pi + 0,927]/20 (s)`

Tốc độ trung bình của vật là:

      `v = S/t`

Tỉ số giữa tốc độ cực đại và tốc độ trung bình của vật là:

      `n = [v_[max]']/[v] = [v_[max]' t]/S `

         `= [100. [pi + 0,927]/20]/11 `

         `≈ 1,85`