Cường và Hưng thi chạy trên đường đua có dạng hình vuông ABCD cạnh a=100m (Hình 1). Hai bạn xuất phát từ A chạy tới C rồi trở lại A. Lượt đi, Cường chạy theo đường ABC, Hưng chạy theo đường ADC. Hai bạn sau khi tới C sẽ lập tức chạy ngược lại theo đường ban đầu của mình để trở về A (tức lượt về, Cường chạy theo đường CBA, Hưng chạy theo đường CDA). Biết Hưng xuất phát sớm hơn Cường 5s. Các chuyển động coi là đều. Hình 1 1. Lượt đi, Cường chạy với vận tốc 5 m/s, Hưng chạy với vận tốc 4 m/s. a. Tìm thời gian mà Hưng và Cường chạy hết lượt của mình. b. Ai đến C sớm hơn và sớm hơn bao lâu? 2. Lượt về, Cường chạy với vận tốc bằng 60% vận tốc lượt đi của mình còn Hưng chạy với vận tốc bằng 85% vận tốc lượt đi của mình. a. Tìm thời gian mà Cường và Hưng chạy hết lượt về của mình. b. Ai về đến A sớm hơn và sớm hơn bao lâu? 3. Tìm khoảng cách nhỏ nhất của hai bạn trong giai đoạn mà một bạn đang chạy lượt về, còn bạn kia đang chạy lượt đi.

`@` Đáp án: Khoảng cách nhỏ nhất là `21.6 m`

`@` Giải thích các bước giải:

`-` Ta có:

` 200/4 = 50 > 200/5 +5 = 45`

`->` Nên Cường đến trước Hưng. Do đó lúc Cường về thì Hưng vẫn đi.

`*` Khi đạt khoảng cách nhỏ nhất:

`->` Cường ở `F`, Hưng ở `E`

`-` Gọi `t` là thời gian Hưng đi đến khi đạt khoảng cách nhỏ nhất.

`-` Ta có:

`+ EC = t*4`

`+FC = [(t - 5) - 200/5]*60%*5 = (t-9)*3 = 3t - 27`

`-` Gọi `d` là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai bạn.

`->` Áp dụng định lí Pytago ta có:

           `EC^2 + FC^2 = d^2`

`<=> 16t^2 + 9t^2 -162t + 729 = d^2`

`<=>25t^2 - 162t + 729 - d^2 = 0`

`-` Lặp delta `= (-162)^2 - 4*25*(729 - d^2) = 26244 - 72900 + 100d^2 = -46656 + 100d^2`

`-` Để phương trình có nghiệm thì delta `>= 0`

`=> -46656 + 100d^2 >= 0`

`<=>100d^2 >= 46656`

`<=> d^2 >= 466.56`

`=> d = 21.6 (m)`

`-` Vậy khoảng cách nhỏ nhất của hai vật là `21.6m`

Vì quãng đưỡng chạy là hình vuông nên `AB=BC=CD=DC=a=100m`

Quãng đường mà Cường chuyển động là 

`S_1=AB+BC=100+100=200(m)`

Quãng đường mà Hưng chuyển động là

`S_2=AD+DC=100+100=200(m)`

`1`

`a)` Thời gian mà Cường chạy hết lượt đi của mình là :

`t_1=S_1/v_1=200/5=40(s)`

Thời gian mà Hưng chạy hết lượt đi của mình là :

`t_2=S_2/v_2=200/4=50(s)`

`b)` Ta thấy `t_1<t_2` nên Cường đến `C` sớm hơn và sớm hơn `Δt_1=t_2-t_1=50-40=10(s)`

`2`

Vận tốc lượt về của Cường là :

`v_3=60%.v_1=60%.5=3(m``/s)`

Vận tốc lượt về của Hưng là :

`v_4=85%.v_2=85%.4=3,4(m`/`s)`

`a)` Thời gian Cường chạy hết lượt về của mình là :

`t_3=S_1/v_3=200/3(s)`

Thời gian Hưng chạy hết lượt về của mình là :

`t_4=S_2/v_4=200/3,4=1000/17(s)`

`b)` Tổng thời gian Cường chạy là :

`t_(13)=t_1+t_3=40+200/3=320/3(s)`

Tổng thời gian Hưng chạy là :

`t_(24)=t_2+t_4=50+1000/17=1850/17(s)`

Ta thấy `t_(13)<t_(24)` nên Cường đến `A` sớm hơn và sớm hơn `Δt_2=t_(24)-t_(13)=1850/17-320/3=110/51(s)`

`3`

Theo `1.b` ta có Cường đến `C` sớm hơn Hưng nên sẽ quay về `A` trong khi Hưng vẫn đang đi tới `C`

Gọi `t` là thời gian tính từ lúc Cường đến `C` và đang trên đường quay về `A` mà khoảng cách giữa `2` người lúc này là nhỏ nhất `(t <Δt_1)`

Có :

`EC=S_2-v_2.t_1=200-4.40=40(m)`

`EP=v_2.t=4t`

`QC=v_3.t=3t`

Từ hình vẽ ta có :

`PQ^2=PC^2+QC^2` ( Theo định lí Pi-ta-go )

`<=>PQ^2= QC^2+(EC-EP)^2`

`<=>PQ^2=(3t)^2+(40-4t)^2=25t^2-320t+1600`

`-> PQ^2 min=576` tại `t=6,4(s)`

`-> PQ_(min)=24(m)`

Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa `2` bạn là `24m` tại `t=6,4s` tính từ lúc Cường từ `C` quay lại `A`