Ví dụ 6: Một cậu bé đi lên núi với vận tốc 1m/s. Khi còn cách đỉnh núi 100m cậu bé thả một con chó và nó bắt đầu chạy đi chạy lại giữa đỉnh núi và cậu bé. Con chó chạy lên đỉnh núi với vận tốc 3m/s và chạy lại phía cậu bé với vận tốc 5m/s. Tính quãng đường mà con chó đã chạy từ lúc được thả ra tới khi cậu bé lên tới đỉnh núi. Tóm tắt: Vận tốc cạu bé v = 1m/s Vận tốc của chó khi lên v1 = 3m/s, khi xuống v2 = 5m/s Khoảng cách chỗ xuất phát đến đỉnh núi = L = 100 m Tính quãng đường chó chạy từ khi thả đến khi cậu bé lên đỉnh núi.

Đáp án:

\(\dfrac{{800}}{3}\left( m \right)\)

Giải thích các bước giải:

Thời gian con chó chạy lên lần đầu là:

\({t_0} = \dfrac{s}{{{v_1}}} = \dfrac{{100}}{3}\left( s \right)\)

Thời gian chó đi lên và đi xuống là:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{s_l} = {s_x} \Rightarrow 3{t_l} = 5{t_x}}\\
{ \Rightarrow \dfrac{{{t_x}}}{{{t_l}}} = \dfrac{3}{5} = 0,6 \Rightarrow {t_x} = 0,6{t_l}}
\end{array}\)

Thời gian cậu bé đi là:

\({t_{AB}} = \dfrac{s}{v} = \dfrac{{100}}{1} = 100\left( s \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{t_{AB}} = {t_0} + {t_l} + {t_x}}\\
{ \Rightarrow 100 = \dfrac{{100}}{3} + {t_l} + 0,6{t_l}}\\
{ \Rightarrow {t_l} = \dfrac{{125}}{3}\left( s \right)}\\
{ \Rightarrow {t_x} = \dfrac{{25}}{3}\left( s \right)}
\end{array}\)

Quãng đường con chó đã chạy là:

\({s_{ch}} = s + {s_x} + {s_l} = 100 + \dfrac{{125}}{3}.3 + \dfrac{{25}}{3}.5 = \dfrac{{800}}{3}\left( m \right)\)

Gọi `v` là vận tốc của cậu bé, `v_1` là vận tốc con chó khi chạy lên và `v_2` là vận tốc khi chạy xuống. `t` là thời gian từ khi thả đến khi gặp lại nhau lần đầu.

Thời gian con chó chạy lên đỉnh núi lần đầu: `t_1 = L/v_1 = 100/3  (s)`

Thời gian con chó chạy từ đỉnh núi tới cậu bé lần đầu: `t_2 = t - 100/3  (s)`

Quãng đường con chó chạy trong thời gian `t_2` là:

`S_2 = v_2t_2 = 5(t - 100/3)`

Quãng đường cậu bé đi trong thời gian t là: `S_1 = vt = t`

Tổng quãng đường mà cậu bé đi lên và quãng đường mà chó chạy xuống là:

`L = S_1 + S_2 <=> 100 = t + 5(t - 100/3)`

`=> t = 400/9  (s)`

Quãng đường con chó chạy lên và xuống núi trong thời gian t là:

`S_c = L + S_2 = 100 + 5(400/9 - 100/3) = 1400/9`

Quãng đường cậu bé đi trong thời gian t là:

`S_1 = 400/9`

Ta có: `S_c/S_1 = 3,5`

Mối quan hệ giữa quãng đường chó chạy và cậu bé đi là: `s_(ch)/s_b = 3,5`

Khi cậu bé lên đỉnh núi thì: `s_b = L = 100m`

`=> s_(ch) = 350m`