Câu 3 (5 điểm). Một binh nhiệt lượng kế ban đầu chửa nước ở nhiệt độ to = 25" C. Người ta lần lượt thả vào bình này những quả cầu giống nhau đã được đốt nóng đến 105 C. Sau khi thả quả cầu thứ nhất thì nhiệt độ của nước trong binh khi cân bằng nhiệt là tị = 45° C. Biết nhiệt dung riêng của nước là 4200J/kg độ. Bỏ qua sự trao đổi nhiệt với môi trường và binh nhiệt lượng kể. Giả thiết nước không bị tràn ra ngoài. a) Nhiệt độ của nước trong binh khi cân bằng nhiệt là bao nhiêu nếu ta thả tiếp quả cầu thứ hai, thứ ba? b) Cần phải thả bao nhiêu quả cầu để nhiệt độ của nước trong bình khi cân bằng nhiệt là 950 C.

Đáp án:

a) \({57^o}C\) ; \({65^o}C\)

b) \(n = 21\)

Giải thích các bước giải:

Gọi nhiệt dung của nước ban đầu trong bình là: \(q\)

Gọi nhiệt dung của một quả cầu là: \({q_0}\)

Phương trình cân bằng nhiệt khi thả quả cầu thứ nhất là:

\(\begin{array}{l}
q\left( {{t_1} - {t_0}} \right) = {q_0}\left( {t - {t_1}} \right)\\
 \Rightarrow q\left( {45 - 25} \right) = {q_0}\left( {105 - 45} \right)\\
 \Rightarrow 20q = 60{q_0}\\
 \Rightarrow q = 3{q_0}
\end{array}\)

a) Phương trình cân bằng nhiệt khi thả quả cầu thứ 2:

\(\begin{array}{l}
q\left( {{t_2} - {t_0}} \right) = 2{q_0}\left( {t - {t_2}} \right)\\
 \Rightarrow 3{q_0}\left( {{t_2} - 25} \right) = 2{q_0}\left( {105 - {t_2}} \right)\\
 \Rightarrow {t_2} = {57^o}C
\end{array}\)

Phương trình cân bằng nhiệt khi thả quả cầu thứ 3:

\(\begin{array}{l}
q\left( {{t_3} - {t_0}} \right) = 3{q_0}\left( {t - {t_3}} \right)\\
 \Rightarrow 3{q_0}\left( {{t_3} - 25} \right) = 3{q_0}\left( {105 - {t_3}} \right)\\
 \Rightarrow {t_3} = {65^o}C
\end{array}\)

b) Phương trình cân bằng nhiệt khi thả quả cầu thứ n:

\(\begin{array}{l}
q\left( {{t_n} - {t_0}} \right) = n{q_0}\left( {t - {t_n}} \right)\\
 \Rightarrow 3{q_0}\left( {{t_n} - 25} \right) = n{q_0}\left( {105 - {t_n}} \right)\\
 \Rightarrow 3\left( {{t_n} - 25} \right) = n\left( {105 - {t_n}} \right)\\
 \Rightarrow {t_n}\left( {n + 3} \right) = 105n + 75\\
 \Rightarrow {t_n} = \dfrac{{105n + 75}}{{n + 3}} = 95\\
 \Rightarrow n = 21
\end{array}\)