Bài 8.20 trang 72 Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá: Kim tự tháp Cheops của Ai Cập (còn gọi là kim tự tháp Khufu...

Đề bài :

Kim tự tháp Cheops của Ai Cập (còn gọi là kim tự tháp Khufu, được xây dựng vào khoảng 2 500 năm trước Công nguyên) có dạng là một hình chóp tử giác đều với cạnh đáy dài khoảng 230 m và chiều cao khoảng 147m (Hình 8.48).

a) Tính độ dài cạnh bên và diện tích xung quanh của kim tự tháp này.

b) Tính số đo của các góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp. (Nguồn : https://www.congluan.vn/dai-kim-tu-thap-giza-van-ky-la-va-bi-an-voi-cac-nha-khoa-hoc-post203156.html)

Hướng dẫn giải :

Chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông và đường cao đi qua tâm đáy.

a) Áp dụng Py-ta-go.

Diện tích xung quanh bằng 4 lần diện tích tam giác SBC.

b) - Cách tìm số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\):

+ Tìm giao tuyến d của (SCD) và (ACD).

+ Tìm \(a \subset \left( {SCD} \right)\) vuông góc với d. Tìm \(b \subset \left( {ACD} \right)\) vuông góc với d.

+ Tính \(\left( {a,b} \right)\).

- Áp dụng định lý Cosin.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: \(BD = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {{{230}^2} + {{230}^2}} = 230\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow BO = 115\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow SB = \sqrt {S{O^2} + B{O^2}} = \sqrt {{{147}^2} + {{\left( {115\sqrt 2 } \right)}^2}} \approx 219\) (m)

Gọi E là trung điểm của BC. Tam giác SBC cân tại S nên SE vuông góc với BC

\(BE = \frac{{230}}{2} = 115\)

\(SE = \sqrt {S{B^2} - B{E^2}} = \sqrt {{{219}^2} - {{115}^2}} \approx 186\)

\({S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}.186.230 = 21390\)

Diện tích xung quanh là: \(21390.4 = 85560\)

b) Ta có:

SA vuông góc với AB

AD vuông góc với AB

Nên góc phẳng nhị diện tạo bởi (SAB) và (ABCD) là góc SAD

\(\cos \widehat {SAD} = \frac{{S{A^2} + A{D^2} - S{D^2}}}{{2SA.AD}} = \frac{{{{219}^2} + {{230}^2} - {{219}^2}}}{{2.219.230}}\)

\( \Rightarrow \widehat {SAD} \approx {58^0}\)