Mục 3 trang 78, 79 Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá: Đường thẳng A’D’ có đồng thời cắt và vuông góc với hai đường thẳng AA’ và D’C không? Vì sao?...

Câu hỏi:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Xét hai đường thẳng chéo nhau AA’ và DC’

a) Đường thẳng A’D’ có đồng thời cắt và vuông góc với hai đường thẳng AA’ và D’C không? Vì sao?

b) Tìm mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa đường thẳng AA’ và song song với D’C. So sánh d(D’C, \(\left( \alpha \right)\)) và A’D’.

Hướng dẫn giải :

Quan sát hình vẽ.

Lời giải chi tiết :

a) Đường thẳng A’D’ không đồng thời cắt và vuông góc với hai đường thẳng AA’ và D’C vì A’D’ không vuông góc với D’C.

b) \(\left( \alpha \right)\) là (AA’B)

d(D’C, (AA’B)) = A’D’.

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = 3a; ABCD là hình vuông cạnh a, O là giao điểm của AC và BD. Tính khoảng cách giữa:

a) BD và SC

b) AB và SC.

Hướng dẫn giải :

a) Tìm khoảng cách giữa a và b:

+ Tìm (P) chứa a và vuông góc với b.

+ Tìm giao điểm H thỏa mãn thuộc b và nằm trong (P).

+ Tại (P), dựng HK vuông góc với a tại K.

+ HK là khoảng cách cần tìm.

b) Tìm khoảng cách giữa a và b:

+ Tìm (P) chứa a và song song với b.

+ \(d\left( {a,b} \right) = d\left( {b,\left( P \right)} \right)\).

Lời giải chi tiết :

a) BD vuông góc với (SAC)

Kẻ OE vuông góc với SC

Vậy OE là khoảng cách cần tìm

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{9{a^2}}} + \frac{1}{{2{a^2}}}\\ \Rightarrow OE = \frac{{3\sqrt {22} }}{{11}}a\end{array}\)

b) Kẻ AK vuông góc với SD

Ta có: AB // CD nên AB // (SCD)

\(d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = AK\)

\(\begin{array}{l}AK.SD = SA.AD\\ \Leftrightarrow AK = \frac{{3a.a}}{{\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {a^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}a\end{array}\)