Bài 3.24 trang 81 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{1 + 2 + . + n}}{{n + 2}} - \frac{n}{2}, \...

Đề bài :

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{1 + 2 + ... + n}}{{n + 2}} - \frac{n}{2},\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\) có giới hạn là

A. \( - \frac{1}{2}.\)

B. \(\frac{1}{2}.\)

C. \( - 1.\)

D. \(1.\)

Hướng dẫn giải :

Tổng có \(n\) số tự nhiên đầu tiên là \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)

Đây là giới hạn của dãy số, thực hiện bằng cách chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của \(n\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(1 + 2 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)

\( \Rightarrow {u_n} = \frac{{1 + 2 + ... + n}}{{n + 2}} - \frac{n}{2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2\left( {n + 2} \right)}} - \frac{n}{2} = \frac{{ - n}}{{2\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{ - n}}{{2n + 4}}\)

Ta có \(\lim {u_n} = \lim \frac{{ - n}}{{2n + 4}} = \lim \frac{{ - 1}}{{2 + \frac{4}{n}}} = - \frac{1}{2}\)

Đáp án A