Mục 2 trang 45, 46, 47 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được viết dưới dạng khai triển \(\frac{{\sqrt 1 }}{2}, \frac{{\sqrt 2 }}{3}, \frac{{\sqrt 3 }}{4}...

Câu hỏi:

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được viết dưới dạng khai triển \(\frac{{\sqrt 1 }}{2},\frac{{\sqrt 2 }}{3},\frac{{\sqrt 3 }}{4},\frac{{\sqrt 4 }}{5},\frac{{\sqrt 5 }}{6},\frac{{\sqrt 6 }}{7},...\). Dự đoán số hạng tổng quát của dãy số trên.

Hướng dẫn giải :

Quan sát tử và mẫu của các số hạng, tìm ra mối liên hệ giữa tử và mẫu của số hạng với \(n\) tương ứng.

Lời giải chi tiết :

Số hạng tổng quát của dãy là \({u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{n + 1}}\).

Câu hỏi:

Tính năm số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\left( {n + 1} \right)}}{{n + 2}}\)

Hướng dẫn giải :

Thay \(n = 1,2,...,5\) vào công thức của số hạng tổng quát.

Lời giải chi tiết :

Năm số hạng đầu của dãy số là: \({u_1} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^1}\left( {1 + 1} \right)}}{{1 + 2}} = \frac{{ - 2}}{3}\), \({u_2} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}\left( {2 + 1} \right)}}{{2 + 2}} = \frac{3}{4}\), \({u_3} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}\left( {3 + 1} \right)}}{{3 + 2}} = \frac{{ - 4}}{5}\), \({u_4} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}\left( {4 + 1} \right)}}{{4 + 2}} = \frac{5}{6}\), \({u_5} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^5}\left( {5 + 1} \right)}}{{5 + 2}} = \frac{{ - 6}}{7}\).

Câu hỏi:

Viết dãy số nguyên tố trong phạm vi từ 1 đến 50 theo thứ tự tăng dần.

Hướng dẫn giải :

- Số nguyên tố là các số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

- Liệt kê các số nguyên tố từ bé đến lớn trong phạm vi từ 1 đến 50.

Lời giải chi tiết :

Dãy số nguyên tố trong phạm vi từ 1 đến 50 theo thứ tự tăng dần là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Câu hỏi:

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi các điều kiện sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,{u_2} = 2\\{u_n} = {u_{n - 1}} + {\left( {{u_{n - 2}}} \right)^2},\forall n \ge 3\end{array} \right.\)

Hãy viết sáu số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Hướng dẫn giải :

Thay \(n = 3,4,...,6\) vào hệ thức truy hồi.

Lời giải chi tiết :

Theo hệ thức truy hồi, ta có: \({u_1} = 1,{u_2} = 2,{u_3} = 2 + {1^2} = 3\),\({u_4} = 3 + {2^2} = 7\),\({u_5} = 7 + {3^2} = 16\), \({u_6} = 16 + {7^2} = 65\)

Câu hỏi:

Dãy số Fibonacci

Dãy Fibonacci là dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {u_2} = 1\\{u_n} = {u_{n - 1}} + {u_{n - 2}}\end{array} \right.\)với \(n \ge 3\). Hãy viết mười số hạng đầu của dãy Fibonacci.

Hướng dẫn giải :

Thay \(n = 3,4,...,10\) vào hệ thức truy hồi.

Lời giải chi tiết :

Theo hệ thức truy hồi, ta có: \({u_1} = 1,{u_2} = 1,{u_3} = 1 + 1 = 2,{u_4} = 2 + 1 = 3,{u_5} = 3 + 2 = 5,{u_6} = 5 + 3 = 8,{u_7} = 8 + 5 = 13,{u_8} = 13 + 8 = 21,{u_9} = 21 + 13 = 34,{u_{10}} = 34 + 21 = 55\).

Câu hỏi:

\(\sqrt 2 = 1,41421352...\) là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Một dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau: “\({u_n}\) là số gần đúng của \(\sqrt 2 \) có được bằng cách giữ lại phần nguyên và \(n\) chữ số thập phân đầu tiên sau dấu phẩy”. Hãy liệt kê bảy số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Hướng dẫn giải :

Dựa vào đề bài để xác định đặc điểm của dãy số.

Lời giải chi tiết :

Bảy số hạng đầu của dãy số là:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 1,4\\{u_2} = 1,41\\{u_3} = 1,414\\{u_4} = 1,4142\\{u_5} = 1,41421\\{u_6} = 1,414213\\{u_7} = 1,4142135\end{array}\)

Câu hỏi:

\(\pi = 3,14159263589...\) là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Một dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau: “\({u_n}\) là số gần đúng của số \(\pi \) có được bằng cách giữ lại phần nguyên và \(2n\) chữ số thập phân đầu tiên sau dấu phẩy”. Hãy liệt kê năm số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Hướng dẫn giải :

Dựa vào đề bài để xác định đặc điểm của dãy số.

Lời giải chi tiết :

Năm số hạng đầu của dãy số là:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 3,14\\{u_2} = 3,1415\\{u_3} = 3,141592\\{u_4} = 3,14159263\\{u_5} = 3,1415926358\end{array}\)