Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) mà \({u_n} = 1 + \frac{1}{n}\) và \({v_n} = 2 - \frac{1}{n}\) (n là số nguyên dương).
a) So sánh \({u_{n + 1}}\) và \({u_n}\).
b) So sánh \({v_{n + 1}}\) và \({v_n}\).
Thay n = n + 1 vào công thức tổng quát của dãy số. So sánh \({u_{n + 1}} - {u_n}\), \({v_{n + 1}} - {v_n}\) với 0.
a) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \frac{1}{{n + 1}} - 1 - \frac{1}{n} = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = \frac{{n - \left( {n + 1} \right)}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{ -1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\)
Mà n là số nguyên dương nên \(\frac{ -1}{{n\left( {n + 1} \right)}}
b) Ta có: \({v_{n + 1}} - {v_n} = 2 - \frac{1}{{n + 1}} - 2 + \frac{1}{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{{n + 1 - n}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\)
Mà n là số nguyên dương nên \(\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0 \Rightarrow {v_{n + 1}} - {v_n} > 0 \Rightarrow {v_{n + 1}} > {v_n}\).
Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi \({u_n} = \frac{{n - 2}}{{3n - 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) là một dãy số tăng.
So sánh \({u_{n + 1}}\) và \({u_n}\). Nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\) thì là dãy số tăng.
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} = \frac{{n + 1 - 2}}{{3(n + 1) - 1}} = \frac{{n - 1}}{{3n + 2}}\\{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n - 1}}{{3n + 2}} - \frac{{n - 2}}{{3n - 1}} = \frac{5}{{9{n^2} + 3n - 2}}\\9{n^2} + 3n - 2 > 0\forall n \ge 1 \Rightarrow \frac{5}{{9{n^2} + 3n - 2}} > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} > 0\end{array}\)
\(\Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\)
Vậy dãy số đã cho là một dãy số tăng.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{n + 1}}\)
a) So sánh n + 1 và \(2\sqrt n \) .
b) Suy ra: \({u_n} \le \frac{1}{2}\), với mọi số nguyên dương n.
a) So sánh \(n + 1 - 2\sqrt n \) với 0.
b) Áp dụng phần a.
a) \(n + 1 - 2\sqrt n = {\left( {\sqrt n - 1} \right)^2} \ge 0\forall n \Rightarrow n + 1 \ge 2\sqrt n \)
b) \(n + 1 \ge 2\sqrt n \Rightarrow \frac{{\sqrt n }}{{n + 1}} \le \frac{{\sqrt n }}{{2\sqrt n }} = \frac{1}{2} \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{2}\forall n\) nguyên dương
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n - 1}}{{n + 2}}\), với n là số nguyên dương.
a) Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) tăng.
b) Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
a) So sánh \({u_{n + 1}}\) và \({u_n}\). Nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\) thì là dãy số tăng.
b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn khi \(m \le {u_n} \le M\forall n\) nguyên dương.
a)
\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{n - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{3}{{n + 2}}\\{u_{n + 1}} - {u_n} = 1 - \frac{3}{{n + 3}} - \left( {1 - \frac{3}{{n + 2}}} \right) = \frac{3}{{n + 2}} - \frac{3}{{n + 3}} = 3\left( {\frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}}} \right)\\n + 2 \frac{1}{{n + 3}} \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}} > 0 \Leftrightarrow 3\left( {\frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}}} \right) > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
b) n là số nguyên dương \( \Rightarrow n \ge 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n - 1 \ge 0\\n + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{n - 1}}{{n + 2}} \ge 0\)
\(n - 1
\( \Rightarrow 0 \le \frac{{n - 1}}{{n + 2}}
Vậy dãy số đã cho là dãy số bị chặn.
Trong một trò chơi của trẻ em, các em nhỏ dùng các viên bi để xếp thành các hình tam giác Fn. Dãy các hình xếp (Fn) tuân theo một quy luật được mô tả trong Hình 2.2. Trong đó F1 chỉ có 1 viên bi, thêm 2 viên bi để được tam giác đều là hình F2, thêm 3 viên bi thẳng hàng và song song với một cạnh của F2 để được tam giác đều F3,… Gọi (un) là dãy số mà un là số viên bi cần dùng để xếp được hình Fn \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Chẳng hạn \({u_1} = 1,{u_2} = 3,{u_3} = 6\),…
a) Viết sáu số hạng đầu tiên của dãy số (un).
b) Dự đoán công thức truy hồi để tính un.
Số hạng đứng sau hơn số hạng đứng trước đúng một số bằng số thứ tự của số hạng đứng sau.
a) \({u_1} = 1,{u_2} = 3,{u_3} = 6,{u_4} = 6 + 4 = 10,{u_5} = 10 + 5 = 15,{u_6} = 15 + 6 = 21\)
b) Công tính truy hồi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n + 1\end{array} \right.\)
Để học tốt môn Toán, chúng ta cần có sách giáo khoa, vở bài tập, bút chì, bút mực, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay và giấy nháp.
Toán học, được ví như "ngôn ngữ của vũ trụ", không chỉ là môn học về số và hình học. Đó là lĩnh vực nghiên cứu trừu tượng về các cấu trúc, không gian và phép biến đổi, góp phần quan trọng vào việc giải mã các hiện tượng tự nhiên và phát triển công nghệ.
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưLớp 11 - Năm học quan trọng, bắt đầu hướng đến những mục tiêu sau này. Hãy học tập chăm chỉ và tìm ra đam mê của mình để có những lựa chọn đúng đắn cho tương lai!'
- Học nhưng cũng chú ý sức khỏe nhé!. Chúc các bạn học tập tốt.
Nguồn : Sưu tậpCopyright © 2024 Giai BT SGK