Mục 1 trang 31, 32 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Tập nghiệm của cặp phương trình sau có bằng nhau không?...

Câu hỏi:

Tập nghiệm của cặp phương trình sau có bằng nhau không?

a) \({x^2} - x = 0\) và \(\frac{{3x}}{{x - 4}} + x = 0\).

b) \({x^2} - 1 = 0\) và \(1 - x = 0\).

Hướng dẫn giải :

Giải phương trình và so sánh hai tập nghiệm.

Lời giải chi tiết :

a)

\({x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

\(\frac{{3x}}{{x - 4}} + x = 0\) (ĐK: \(x \ne 4\))

\( \Leftrightarrow \frac{{3x + x\left( {x - 4} \right)}}{{x - 4}} = 0 \Leftrightarrow 3x + {x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,({\rm{TM)}}\\x = 1\,{\rm{(TM)}}\end{array} \right.\)

Vậy hai phương trình này có tập nghiệm bằng nhau là \(\left\{ {0;1} \right\}\).

b)

\(\begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\\1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của hai phương trình này không bằng nhau.

Câu hỏi:

Các cặp phương trình sau có tương đương không? Vì sao?

a) \({x^2} = 4\) và \(\left| x \right| = 2\).

b) \(\left( {x - 3} \right)\left( {1 + \sqrt {x - 4} } \right) = 0\) và \(3 - x = 0\).

Hướng dẫn giải :

Giải phương trình và so sánh tập nghiệm của hai phương trình.

Lời giải chi tiết :

a)

\(\begin{array}{l}{x^2} = 4 \Leftrightarrow x \pm 2\\\left| x \right| = 2 \Leftrightarrow x = \pm 2\end{array}\)

Vậy hai phương trình trên tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là \(\left\{ { - 2;2} \right\}\).

b) \(\left( {x - 3} \right)\left( {1 + \sqrt {x - 4} } \right) = 0\) (ĐK: \(x \ge 4\))

\(\left( {x - 3} \right)\left( {1 + \sqrt {x - 4} } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\1 + \sqrt {x - 4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\left( {\rm{L}} \right)\\\sqrt {x - 4} = - 1\,\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\)

\(3 - x = 0 \Leftrightarrow x = 3\)

Vậy hai phương trình trên không tương đương vì chúng không có cùng tập nghiệm.

Câu hỏi:

Các phép biến đổi sau có đúng không? Vì sao?

\(x - \frac{1}{{x - 2}} = 2 - \frac{1}{{x - 2}} \Leftrightarrow x - \frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 2}} = 2 - \frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 2}} \Leftrightarrow x = 2\)

Hướng dẫn giải :

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của một phương trình thì phép biến đổi đó đúng: cộng trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức; Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

Lời giải chi tiết :

Phép biến đổi sau đúng vì ta cộng hai vế với cùng một biểu thức \(\frac{1}{{x - 2}}\) mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.