Giải mục 1 trang 16, 17 Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá: Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\). Giả sử phương trình có nghiệm x1, x2...

Câu hỏi:

Gợi ý giải câu hỏi Hoạt động 1 trang 16

Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\). Giả sử phương trình có nghiệm x₁, x₂, so sánh S = x₁ + x₂ và \( - \frac{b}{a}\), \(P = {x_1}{x_2}\) và \(\frac{c}{a}\).

Hướng dẫn giải :

Dựa vào: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\).

Nếu \(\Delta \) > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}},{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\)

Lời giải chi tiết :

Ta có S = x₁ + x₂ = \(\frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} + \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = - \frac{b}{a}\)

\(P = {x_1}{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.\frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{c}{a}\) .

Câu hỏi:

Gợi ý giải câu hỏi Luyện tập 1 trang 16

Không giải phương trình, chứng minh phương trình \({x^2} + 3x - 6 = 0\) có hai nghiệm phân biệt x₁ , x₂ và tính M = x₁ + x₂ - x₁x₂ .

Hướng dẫn giải :

Dựa vào: Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) thì:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}}\\{P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.\)

Lời giải chi tiết :

Phương trình \({x^2} + 3x - 6 = 0\) có a = 1; b = 3, c = -6.

\(\Delta = {3^2} - 4.1.( - 6) = 33 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có \(S = {x_1} + {x_2} = - 3,P = {x_1}{x_2} = 3\).

Suy ra M = x₁ + x₂ - x₁x₂ = - 3 – 3 = - 6.

Câu hỏi:

Gợi ý giải câu hỏi Luyện tập 2 trang 17

Cho phương trình \({x^2} - 2\sqrt 5 x + 3 = 0\)

a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁ , x₂ .

b) Tính \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}};{x_1}^2 + {x_2}^2.\)

Hướng dẫn giải :

Dựa vào: Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) thì:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}}\\{P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.\)

Lời giải chi tiết :

a) Phương trình \({x^2} - 2\sqrt 5 x + 3 = 0\) có a = 1; b = \( - 2\sqrt 5 \), c = 3.

\(\Delta = {( - 2\sqrt 5 )^2} - 4.1.3 = 8 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

b) Theo định lí Viète, ta có \(S = {x_1} + {x_2} = 2\sqrt 5 ,P = {x_1}{x_2} = 3\).

Suy ra \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}\).

Ta có \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2\)

Suy ra \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {(2\sqrt 5 )^2} - 2.3 = 14.\)

Câu hỏi:

Đáp án câu hỏi Hoạt động 2 trang 17

Cho phương trình \(3{x^2} - 7x + 4 = 0\)

a) Xác định hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.

b) Chứng minh \({x_1} = 1\) là một nghiệm của phương trình.

c) Áp dụng định lí Viète để tìm nghiệm x₂.

2. Cho phương trình \(2{x^2} + 5x + 3 = 0\)

a) Xác định hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.

b) Chứng minh \({x_1} = - 1\) là một nghiệm của phương trình.

c) Tìm nghiệm x₂.

Hướng dẫn giải :

Xác định a, b, c sau đó thay x = 1 vào phương trình kiểm tra xem thỏa mãn không.

Dựa vào: Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) thì:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}}\\{P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.\)

Lời giải chi tiết :

1a) Phương trình có a = 3, b = - 7, c = 4

Suy ra a + b + c = 3 – 7 + 4 = 0.

1b) Thay x = 1 vào phương trình \(3{x^2} - 7x + 4 = 0\) ta được:

3. 1² – 7.1 + 4 = 0 (TM)

Vậy \({x_1} = 1\) là một nghiệm của phương trình.

1c) Theo định lí Viète ta có \(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = \frac{7}{3}\).

Mà \({x_1} = 1\) suy ra \({x_2} = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3}\).

2a) Phương trình có a = 2, b = 5, c = 3

Suy ra a - b + c = 2 – 5 + 3 = 0.

2b) Thay x = -1 vào phương trình \(2{x^2} + 5x + 3 = 0\) ta được:

2. (-1)² + 5.(-1) + 3 = 0 (TM)

Vậy \({x_1} = - 1\) là một nghiệm của phương trình.

2c) Theo định lí Viète ta có \(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{5}{2}\).

Mà \({x_1} = - 1\) suy ra \({x_2} = - \frac{5}{2} - 1 = - \frac{7}{2}\).

Câu hỏi:

Hướng dẫn giải câu hỏi Luyện tập 3 trang 17

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) \( - 5{x^2} + 2x + 3 = 0\)

b) \(4{x^2} + 27x + 23 = 0\)

c) \(6,8{t^2} - 4,7x - 2,1 = 0\)

Hướng dẫn giải :

Dựa vào: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\).

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm \({x_1} = 1\) và \({x_2} = \frac{c}{a}\).

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = - \frac{c}{a}\).

Lời giải chi tiết :

a) \( - 5{x^2} + 2x + 3 = 0\)

Phương trình có a = - 5, b = 2, c = 3.

Vì a + b + c = - 5 + 2 + 3 = 0 nên phương trình có nghiệm \({x_1} = 1\) và \({x_2} = - \frac{3}{5}\).

b) \(4{x^2} + 27x + 23 = 0\)

Phương trình có a = 4, b = 27, c = 23.

Vì a - b + c = 4 - 27 + 23 = 0 nên phương trình có nghiệm \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = - \frac{{23}}{4}\).

c) \(6,8{t^2} - 4,7x - 2,1 = 0\)

Phương trình có a = - 5, b = 2, c = 3.

Vì a + b + c = 6,8 – 4,7 – 2,1 = 0 nên phương trình có nghiệm \({x_1} = 1\) và \({x_2} = \frac{{2,1}}{{6,8}} = \frac{{21}}{{68}}\).