Bài 4.8 trang 86 Toán 9 Cùng khám phá tập 1: Tính độ dài cạnh x, y và số đo góc \(\alpha \) trong mỗi trường hợp ở Hình 4...

Đề bài :

Tính độ dài cạnh x, y và số đo góc \(\alpha \) trong mỗi trường hợp ở Hình 4.23.

Hướng dẫn giải :

Hình a: \(\Delta \)ABC vuông tại A nên \(y = BC.\sin B;x = BC.\cos B\)

\(\Delta \)ADC vuông tại D nên \(\sin \alpha = \frac{{AD}}{{AC}}\) nên tính được \(\alpha \).

Hình b:

+ \(\Delta \)GFH vuông tại F nên \(F{G^2} + G{H^2} = F{H^2}\) nên tính được x

\(\sin GHF = \frac{{FG}}{{FH}} = \frac{7}{9}\) nên tính được góc FHG.

+ \(\Delta \)EFH vuông tại E nên \(y = FH.\sin EFH,\widehat {EHF} = {90^o} - \widehat {EFH}\). Do đó, \(\alpha = {180^o} - \widehat {EHF} - \widehat {FHG}\).

Hình c:

+ \(\Delta \)ONP vuông tại O nên \(x = PN.\cos NPO,NO = PN.\sin NPO\)

+ \(\Delta \)OMP vuông tại O nên \(\cos OPM = \frac{{OP}}{{PM}}\) nên tính được góc OPM, \(MO = PM.\sin MPO\)

Do đó, \(\alpha = \widehat {OPM} - \widehat {OPN},y = MN = MO - NO\)

Lời giải chi tiết :

Hình a:

\(\Delta \)ABC vuông tại A nên

\(y = BC.\sin B = 10\sin {55^o} \approx 8,2;x = BC.\cos B = 10\cos {55^o} \approx 5,7\)

Tam giác ADC vuông tại D nên

\(\sin \alpha = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{4}{{8,2}} = \frac{{20}}{{41}}\) nên \(\alpha \approx {29^o}12’\).

Hình b:

\(\Delta \)GFH vuông tại F nên \(F{G^2} + G{H^2} = F{H^2}\) (định lí Pythagore) nên \(x = GH = \sqrt {F{H^2} - F{G^2}} = \sqrt {{9^2} - {7^2}} = 4\sqrt 2 \approx 5,7\)

\(\sin GHF = \frac{{FG}}{{FH}} = \frac{7}{9}\) nên \(\widehat {FHG} \approx {51^o}3’\)

\(\Delta \)EFH vuông tại E nên

\(y = FH.\sin EFH = 9.\sin {62^o} \approx 7,9\), \(\widehat {EHF} = {90^o} - \widehat {EFH} = {90^o} - {62^o} = {28^o}\).

Do đó, \(\alpha = {180^o} - \widehat {EHF} - \widehat {FHG}\) \( \approx {180^o} - {28^o} - {29^o}11’\) \( \approx {122^o}49’\).

Hình c:

\(\Delta \)ONP vuông tại O nên \(x = PN.\cos NPO = 7.\cos {37^o} \approx 5,6\), \(NO = PN.\sin NPO = 7.\sin {37^o} \approx 4,2\).

\(\Delta \)OMP vuông tại O nên \(\cos OPM = \frac{{OP}}{{PM}} \approx \frac{{5,6}}{{11}}\) nên \(\widehat {OPM} \approx {59^o}24’\),

\(MO = PM.\sin MPO = 11.\sin {59^o}24′ \approx 9,5\)

Do đó, \(\alpha = \widehat {OPM} - \widehat {OPN} \approx {22^o}24′,y = MN = MO - NO \approx 5,3\)