Bài tập 5 trang 40 Toán 12 tập 2 - Cánh diều: Cho đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{x}\) và khối tròn xoay như Hình 31 Hình phẳng được giới hạn...

Đề bài :

Cho đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{x}\) và khối tròn xoay như Hình 31

a) Hình phẳng được giới hạn bởi các đường nào để khi xoay quanh trục Ox ta được khối tròn xoay như Hình 31?

b) Tính thể tích khối tròn xoay đó

Hướng dẫn giải :

a) Quan sát hình vẽ

b) Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a;b]. Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng \(V = \pi \int\limits_a^b {{{[f(x)]}^2}dx} \)

Lời giải chi tiết :

a) Hình phẳng đó được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{x}\), trục Ox, đường thẳng x = 1 và x = 2

b) Thể tích khối tròn xoay đó là: \(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \pi .\left. {\ln x} \right|_1^2 = \pi \ln 2\)