Bài tập 9 trang 41 Toán 12 tập 2 - Cánh diều: Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Giả sử \(\widehat {POM} = \alpha...

Đề bài :

Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Giả sử \(\widehat {POM} = \alpha ,OM = l(0 \le \alpha \le \frac{\pi }{3};l > 0)\). Gọi \({\rm N}\) là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (Hình 35). Tính thể tích của \({\rm N}\) theo \(\alpha \) và \(l\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng công thức tính thể tích hình nón

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác vuông OPM:

\(MP = OM.\sin \widehat {POM} = l.\sin \alpha \)

\(OP = OM.\cos \widehat {POM} = l.\cos \alpha \)

Khối tròn xoay là một hình nón có diện tích là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {l.\sin \alpha } \right)^2}.l.\cos \alpha = \frac{1}{3}\pi {l^3}.{\sin ^2}\alpha \cos \alpha \)