Giải mục 2 trang 75,76 Toán 12 tập 1 - Cánh diều: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A({x_A};{y_A};{z_A})\) và \(B({x_B};{y_B};{z_B})\)...

Đề bài :

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 75 SGK Toán 12 Cánh diều

a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A({x_A};{y_A};{z_A})\) và \(B({x_B};{y_B};{z_B})\). Gọi \(M({x_M};{y_M};{z_M})\)là trung điểm đoạn thẳng AB

• Biểu diễn vecto \(\overrightarrow {OM} \) theo hai vecto \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \)
• Tính tọa độ của điểm M theo tọa độ của các điểm \(A({x_A};{y_A};{z_A})\) và \(B({x_B};{y_B};{z_B})\)

b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có trọng tâm G

• Biểu diễn vecto \(\overrightarrow {OG} \) theo ba vecto \(\overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {OC} \)
• Tính tọa độ của điểm G theo tọa độ của các điểm \(A({x_A};{y_A};{z_A})\), \(B({x_B};{y_B};{z_B})\) và \(C({x_C};{y_C};{z_C})\)

Hướng dẫn giải :

Cho tam giác ABC có \(A({a_1};{a_2};{a_3})\), \(B({b_1};{b_2};{b_3})\), \(C({c_1};{c_2};{c_3})\), ta có \(M(\frac{{{a_1} + {b_1}}}{2};\frac{{{a_2} + {b_2}}}{2};\frac{{{a_3} + {b_3}}}{2})\) là trung điểm của AB, \(G(\frac{{{a_1} + {b_1} + {c_1}}}{3};\frac{{{a_2} + {b_2} + {c_2}}}{3};\frac{{{a_3} + {b_3} + {c_3}}}{3})\) là trọng tâm của tam giác ABC

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: \(\overrightarrow {OM} = ({x_M};{y_M};{z_M})\), \(\overrightarrow {OA} = ({x_A};{y_A};{z_A})\), \(\overrightarrow {OB} = ({x_B};{y_B};{z_B})\)

Nên \(\overrightarrow {OM} = (\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2})\)

Tọa độ của điểm M là: \(M(\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2})\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {OG} = (\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3})\)

Tọa độ điểm G là: \(G(\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3})\)