Bài 14 trang 83 Toán 12 tập 1 - Cánh diều: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;0;-3), B(0;-4;5) và C(-1;2;0). Chứng minh rằng ba điểm A...

Đề bài :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;0;-3), B(0;-4;5) và C(-1;2;0).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thằng hàng

b) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

d) Tính chu vi của tam giác ABC

e) Tính \(\cos \overrightarrow {BAC} \)

Hướng dẫn giải :

a) A, B, C không thẳng hàng khi \(\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {AC} \)

b) Tứ giác ABCD là hình bình hành khi có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau

c) Cho tam giác ABC có \(A({a_1};{a_2};{a_3})\), \(B({b_1};{b_2};{b_3})\), \(C({c_1};{c_2};{c_3})\), ta có \(G(\frac{{{a_1} + {b_1} + {c_1}}}{3};\frac{{{a_2} + {b_2} + {c_2}}}{3};\frac{{{a_3} + {b_3} + {c_3}}}{3})\) là trọng tâm của tam giác ABC

d) Chu vi tam giác bằng tổng độ dài 3 cạnh

e) \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{|\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |}}\)

Lời giải chi tiết :

a) \(\overrightarrow {AB} = ( - 2; - 4;8)\); \(\overrightarrow {AC} = ( - 3;2;3)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {AC} \) => A, B, C không thẳng hàng

b) Để ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)

Gọi D(a;b;c) => \(\overrightarrow {DC} = ( - 1 - a;2 - b; - c)\)

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow ( - 3;2;3) = ( - 1 - a;2 - b; - c) \Leftrightarrow a = 2;b = 0;c = - 3 \Rightarrow D(2;0; - 3)\)

c) \(G(\frac{1}{3};\frac{{ - 2}}{3};\frac{2}{3})\)

d) \(\overrightarrow {BC} = ( - 1;6; - 5) \Rightarrow BC = \sqrt {62} \)

\(\overrightarrow {AB} = ( - 2; - 4;8) \Rightarrow AB = 2\sqrt {21} \)

\(\overrightarrow {AC} = ( - 3;2;3) \Rightarrow AC = \sqrt {22} \)

Chu vi của tam giác ABC là: AB + AC + BC = \(2\sqrt {21} \)+\(\sqrt {22} \)+\(\sqrt {62} \)

e) \(\cos \overrightarrow {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{ - 2.( - 3) - 4.2 + 8.3}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 4)}^2} + {8^2}} .\sqrt {{{( - 3)}^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {462} }}{{42}}\)