Bài 49 trang 79 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{x + 4}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\)...

Đề bài :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{x + 4}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).

a) Tìm đạo hàm của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng \( - 3.\)

c) Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có tung độ bằng \(1.\)

Hướng dẫn giải :

Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm x₀ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(P\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right).\)

Lời giải chi tiết :

a) \(f’\left( x \right) = {\left( {\frac{{2x - 3}}{{x + 4}}} \right)^\prime } = \frac{{2\left( {x + 4} \right) - \left( {2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} = \frac{{11}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}.\)

b) Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị có hoành độ bằng \( - 3.\)

\( \Rightarrow {x_0} = - 3;{\rm{ }}{y_0} = - 9 \Rightarrow M\left( { - 3; - 9} \right).\)

\( \Rightarrow f’\left( { - 3} \right) = \frac{{11}}{{{{\left( { - 3 + 4} \right)}^2}}} = 11.\)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( { - 3; - 9} \right)\) là:

\(y = f’\left( { - 3} \right)\left( {x - \left( { - 3} \right)} \right) + f\left( { - 3} \right) \Leftrightarrow y = 11.\left( {x + 3} \right) - 9 \Leftrightarrow y = 11x + 24.\)

c) Gọi \(N\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị có tung độ bằng \(1.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y_0} = 1 \Rightarrow \frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} + 4}} = 1 \Leftrightarrow 2{x_0} - 3 = {x_0} + 4 \Leftrightarrow {x_0} = 7 \Rightarrow N\left( {7;1} \right).\\ \Rightarrow f’\left( 7 \right) = \frac{{11}}{{{{\left( {7 + 4} \right)}^2}}} = \frac{1}{{11}}.\end{array}\)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(N\left( {7;1} \right)\) là:

\(y = f’\left( 7 \right)\left( {x - 7} \right) + f\left( 7 \right) \Leftrightarrow y = \frac{1}{{11}}\left( {x - 7} \right) + 1 \Leftrightarrow y = \frac{1}{{11}}x + \frac{4}{{11}}.\)