Bài 11 trang 46 SBT Toán 11 - Cánh diều: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau...

Đề bài :

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau:

a) \({u_n} = 2n + 3\)

b) \({u_n} = {3^n} - n\)

c) \({u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}}\)

d) \({u_n} = \sin n\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng các cách xác định dãy số tăng hay giảm: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Cách 1: Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\). Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm khi \(H 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Cách 2: Nếu \({u_n} > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), xét thương \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\). Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm khi \(T 1\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Lời giải chi tiết :

a) Xét hiệu:

\(H = {u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {2\left( {n + 1} \right) + 3} \right] - \left( {2n + 3} \right) = \left( {2n + 5} \right) - \left( {2n + 3} \right) = 2 > 0\)

Do đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 2n + 3\) là dãy số tăng.

b) Xét hiệu:

\(H = {u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {{3^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right)} \right] - \left( {{3^n} - n} \right) = \left( {{3^{n + 1}} - {3^n}} \right) - \left( {n + 1} \right) + n\)

\( = {3^n}\left( {3 - 1} \right) - 1 = {2.3^n} - 1\).

Ta thấy \({2.3^n} - 1 \ge {2.3^1} - 1 = 4 > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), nên \(H > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Do đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {3^n} - n\) là dãy số tăng.

c) Ta nhận thấy với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì \({u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}} > 0\).

Xét thương \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}:\frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}} = \frac{{\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}.\frac{{{2^n}}}{{\sqrt n }} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{n + 1}}{n}} = \sqrt {\frac{{n + 1}}{{4n}}} \).

Ta thấy \(3n - 1 > 0 \Rightarrow 4n - 1 > n \Rightarrow 4n > n + 1 \Rightarrow \frac{{n + 1}}{{4n}}

Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}}\) là dãy số giảm.

d) Xét hiệu:

\(H = {u_{n + 1}} - {u_n} = \sin \left( {n + 1} \right) - \sin n = 2\cos \frac{{n + 1 + n}}{2}\sin \frac{{n + 1 - n}}{2} = 2\cos \frac{{2n + 1}}{2}\sin \frac{1}{2}\)

Với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta không thể xác định dấu của \(\cos \frac{{2n + 1}}{2}\), tức là ta không thể kết luận \(H > 0\) hay \(H

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sin n\) không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.