Bài 20 trang 50 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({S_n} = {n^2} + 4n\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\)...

Đề bài :

Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({S_n} = {n^2} + 4n\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) của cấp số cộng đó là:

A. \({u_1} = 3\), \(d = 2\)

B. \({u_1} = 5\), \(d = 2\)

C. \({u_1} = 8\), \(d = - 2\)

D. \({u_1} = - 5\), \(d = 2\)

Hướng dẫn giải :

Ta có \({S_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của dãy.

Với \(n = 1\) ta có \({S_1} = {u_1}\), với \(n = 2\) ta có \({S_2} = {u_1} + {u_2} = {u_1} + {u_1} + d = 2{u_1} + d\)

Giải hệ phương trình, ta tìm được \({u_1}\) và \(d\).

Lời giải chi tiết :

Với \(n = 1\) ta có \({S_1} = {u_1}\)

Với \(n = 2\) ta có \({S_2} = {u_1} + {u_2} = {u_1} + {u_1} + d = 2{u_1} + d\)

Mặt khác, với \(n = 1\) ta có \({S_1} = {1^2} + 4.1 = 5\), với \(n = 2\) ta có \({S_2} = {2^2} + 4.2 = 12\), nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\2{u_1} + d = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\10 + d = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\d = 2\end{array} \right.\)

Vậy \({u_1} = 5\), \(d = 2\)

Đáp án đúng là B.