Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = - 2\), \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Đặt \({v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
a) Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.
b) Tìm công thức của \({v_n}\), \({u_n}\) tính theo \(n\).
c) Tính tổng \(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{20}}}}\).
a) Chỉ ra \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\), \({v_{n + 1}} = \frac{1}{{{u_n}}}\), từ đó chứng minh được \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({v_1} = \frac{1}{2}\) và \(d = - 1\).
b) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng nên \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d\), từ đó ta tìm được công thức của \({v_n}\) theo \(n\). Do \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên ta sẽ tìm được công thức của \({u_n}\) theo \(n\).
c) Do \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên \(S = {v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{20}} - 20\)
a) Ta có:
\({v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\), \({v_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = 1 + \frac{1}{{\frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}}} = 1 + \frac{{1 - {u_n}}}{{{u_n}}} = \frac{{{u_n} + 1 - {u_n}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{u_n}}}\)
\( \Rightarrow {v_{n + 1}} - {v_n} = \frac{1}{{{u_n}}} - \left( {1 + \frac{1}{{{u_n}}}} \right) = - 1\).
Như vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với \(d = - 1\).
Số hạng đầu của dãy \(\left( {{v_n}} \right)\) là \({v_1} = 1 + \frac{1}{{{u_1}}} = 1 + \frac{1}{{ - 2}} = \frac{1}{2}\)
b) Vì \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = \frac{1}{2}\) và công sai \(d = - 1\), nên ta có \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{1}{2} + \left( {n - 1} \right)\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} + 1 - n = \frac{{3 - 2n}}{2}\).
Do \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên \(\frac{{3 - 2n}}{2} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}} \Rightarrow \frac{1}{{{u_n}}} = \frac{{1 - 2n}}{2} \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{1 - 2n}}\)
c) Ta có \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên:
\(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{20}}}} = \left( {{v_1} - 1} \right) + \left( {{v_2} - 1} \right) + \left( {{v_3} - 1} \right) + ... + \left( {{v_{20}} - 1} \right)\)
\( = \left( {{v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{20}}} \right) - 20 = \frac{{\left( {2{v_1} + 19d} \right).20}}{2} - 20 = 10\left( {2.\frac{1}{2} - 19} \right) - 2 = - 200\)
Để học tốt môn Toán, chúng ta cần có sách giáo khoa, vở bài tập, bút chì, bút mực, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay và giấy nháp.
- Bộ sách Cánh Diều được lựa chọn bởi phù hợp nhiều đối tượng học sinh. Mỗi cuốn sách giáo khoa Cánh Diều đều chứa đựng rất nhiều sáng tạo, tâm huyết, mang đầy tri thức và cảm xúc của các tác giả biên soạn.
Toán học, được ví như "ngôn ngữ của vũ trụ", không chỉ là môn học về số và hình học. Đó là lĩnh vực nghiên cứu trừu tượng về các cấu trúc, không gian và phép biến đổi, góp phần quan trọng vào việc giải mã các hiện tượng tự nhiên và phát triển công nghệ.
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưLớp 11 - Năm học quan trọng, bắt đầu hướng đến những mục tiêu sau này. Hãy học tập chăm chỉ và tìm ra đam mê của mình để có những lựa chọn đúng đắn cho tương lai!'
- Học nhưng cũng chú ý sức khỏe nhé!. Chúc các bạn học tập tốt.
Nguồn : Sưu tậpCopyright © 2024 Giai BT SGK