Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 - Cánh diều Chương II. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Bài 27 trang 51 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = - 2\)...

Bài 27 trang 51 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = - 2\)...

Chỉ ra \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\), \({v_{n + 1}} = \frac{1}{{{u_n}}}\), từ đó chứng minh được \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({v_1} = \frac{1}{2}\) và. Hướng dẫn cách giải/trả lời - Bài 27 trang 51 sách bài tập toán 11 - Cánh diều - Bài 2. Cấp số cộng. Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) biết ({u_1} = - 2), ({u_{n + 1}} = frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}) với (n in {mathbb{N}^*})...

Đề bài :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = - 2\), \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Đặt \({v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

a) Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.

b) Tìm công thức của \({v_n}\), \({u_n}\) tính theo \(n\).

c) Tính tổng \(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{20}}}}\).

Hướng dẫn giải :

a) Chỉ ra \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\), \({v_{n + 1}} = \frac{1}{{{u_n}}}\), từ đó chứng minh được \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({v_1} = \frac{1}{2}\) và \(d = - 1\).

b) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng nên \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d\), từ đó ta tìm được công thức của \({v_n}\) theo \(n\). Do \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên ta sẽ tìm được công thức của \({u_n}\) theo \(n\).

c) Do \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên \(S = {v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{20}} - 20\)

Lời giải chi tiết :

a) Ta có:

\({v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\), \({v_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = 1 + \frac{1}{{\frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}}} = 1 + \frac{{1 - {u_n}}}{{{u_n}}} = \frac{{{u_n} + 1 - {u_n}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{u_n}}}\)

\( \Rightarrow {v_{n + 1}} - {v_n} = \frac{1}{{{u_n}}} - \left( {1 + \frac{1}{{{u_n}}}} \right) = - 1\).

Như vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với \(d = - 1\).

Số hạng đầu của dãy \(\left( {{v_n}} \right)\) là \({v_1} = 1 + \frac{1}{{{u_1}}} = 1 + \frac{1}{{ - 2}} = \frac{1}{2}\)

b) Vì \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = \frac{1}{2}\) và công sai \(d = - 1\), nên ta có \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{1}{2} + \left( {n - 1} \right)\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} + 1 - n = \frac{{3 - 2n}}{2}\).

Do \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên \(\frac{{3 - 2n}}{2} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}} \Rightarrow \frac{1}{{{u_n}}} = \frac{{1 - 2n}}{2} \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{1 - 2n}}\)

c) Ta có \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên:

\(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{20}}}} = \left( {{v_1} - 1} \right) + \left( {{v_2} - 1} \right) + \left( {{v_3} - 1} \right) + ... + \left( {{v_{20}} - 1} \right)\)

\( = \left( {{v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{20}}} \right) - 20 = \frac{{\left( {2{v_1} + 19d} \right).20}}{2} - 20 = 10\left( {2.\frac{1}{2} - 19} \right) - 2 = - 200\)

Dụng cụ học tập

Để học tốt môn Toán, chúng ta cần có sách giáo khoa, vở bài tập, bút chì, bút mực, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay và giấy nháp.

Chia sẻ

Chia sẻ qua Facebook Chia sẻ

Sách Giáo Khoa: Cánh diều

- Bộ sách Cánh Diều được lựa chọn bởi phù hợp nhiều đối tượng học sinh. Mỗi cuốn sách giáo khoa Cánh Diều đều chứa đựng rất nhiều sáng tạo, tâm huyết, mang đầy tri thức và cảm xúc của các tác giả biên soạn.

Đọc sách

Bạn có biết?

Toán học, được ví như "ngôn ngữ của vũ trụ", không chỉ là môn học về số và hình học. Đó là lĩnh vực nghiên cứu trừu tượng về các cấu trúc, không gian và phép biến đổi, góp phần quan trọng vào việc giải mã các hiện tượng tự nhiên và phát triển công nghệ.

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 11

Lớp 11 - Năm học quan trọng, bắt đầu hướng đến những mục tiêu sau này. Hãy học tập chăm chỉ và tìm ra đam mê của mình để có những lựa chọn đúng đắn cho tương lai!'

- Học nhưng cũng chú ý sức khỏe nhé!. Chúc các bạn học tập tốt.

Nguồn : Sưu tập

Copyright © 2024 Giai BT SGK