Bài 25 trang 15 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho \(\sin a = \frac{2}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} \(\cos a\), \(\tan a\) \(\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\)...

Đề bài :

Cho \(\sin a = \frac{2}{3}\) với \(\frac{\pi }{2}

a) \(\cos a\), \(\tan a\)

b) \(\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\), \(\cos \left( {a - \frac{{5\pi }}{6}} \right)\), \(\tan \left( {a + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\)

c) \(\sin 2a\), \(\cos 2a\)

Hướng dẫn giải :

a) Sử dụng công thức \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\) và điều kiện \(\frac{\pi }{2} để tính \(\cos a\).

Sử dụng công thức \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}\) để tính \(\tan a\).

b) Sử dụng kết quả câu a và các công thức sau:

\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a\)

\(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\)

\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\)

c) Sử dụng các công thức sau: \(\sin 2a = 2\sin a\cos a\), \(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\)

Lời giải chi tiết :

a) Ta có \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1 \Rightarrow {\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9} \Rightarrow \cos a = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

Do \(\frac{\pi }{2} .

Suy ra \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{2}{3} :\frac{{ - \sqrt 5 }}{3} = \frac{{ - 2\sqrt 5 }}{5}\)

b) Ta có:

\(\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin a\cos \frac{\pi }{4} + \cos a\sin \frac{\pi }{4} = \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 5 }}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{2\sqrt 2 - \sqrt {10} }}{6}\)

\(\cos \left( {a - \frac{{5\pi }}{6}} \right) = \cos a\cos \frac{{5\pi }}{6} + \sin a\sin \frac{{5\pi }}{6} = \frac{{ - \sqrt 5 }}{3}.\frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{2 + \sqrt {15} }}{6}\)

\(\tan \left( {a + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{{\tan a + \tan \frac{{2\pi }}{3}}}{{1 - \tan a\tan \frac{{2\pi }}{3}}} = \frac{{\frac{{ - 2\sqrt 5 }}{5} + \left( { - \sqrt 3 } \right)}}{{1 - \frac{{ - 2\sqrt 5 }}{5}.\left( { - \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{8\sqrt 5 + 9\sqrt 3 }}{7}\)

c) \(\begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a.\cos a = 2.\frac{2}{3}.\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) = - \frac{{4\sqrt 5 }}{9}\\\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - 2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9}\end{array}\)