Bài 30 trang 16 SBT Toán 11 - Cánh diều: Góc chiếu sáng của đèn pin bằng bao nhiêu độ?...

Đề bài :

Trên một mảnh đất hình vuông \(ABCD\), bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí \(A\) chiếu chùm sáng phân kì sang phía góc \(C\). Bác An nhận thấy góc chiếu sáng của đèn pin giới hạn bởi hai tia \(AM\) và \(AN\), ở đó các điểm \(M\), \(N\) lần lượt thuộc các cạnh \(BC\), \(CD\) sao cho \(BM = \frac{1}{2}BC\), \(DN = \frac{1}{3}DC\) (xem hình vẽ).

a) Tính \(\tan \left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right)\).

b) Góc chiếu sáng của đèn pin bằng bao nhiêu độ?

Hướng dẫn giải :

a) Sử dụng công thức \(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\) và công thức tan của góc nhọn trong tam giác vuông.

b) Góc chiếu sáng cần tìm là \(\widehat {MAN}\). Sử dụng kết quả câu a để tính \(\widehat {BAM} + \widehat {DAN}\), từ đó tính được góc \(\widehat {MAN}\).

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác vuông \(AMB\), ta có \(\tan \widehat {BAM} = \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{2}\).

Xét tam giác vuông \(AND\), ta có \(\tan \widehat {DAN} = \frac{{ND}}{{AD}} = \frac{{ND}}{{CD}} = \frac{1}{3}\).

Ta có:

\(\tan \left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right) = \frac{{\tan \widehat {BAM} + \tan \widehat {DAN}}}{{1 - \tan \widehat {BAM}\tan \widehat {DAN}}} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{2}.\frac{1}{3}}} = 1\).

b) Góc chiếu sáng cần tìm là \(\widehat {MAN}\).

Do \(\tan \left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right) = 1\), nên \(\widehat {BAM} + \widehat {DAN} = {45^o}\).

Suy ra \(\widehat {MAN} = {90^o} - {45^o} = {45^o}\)