Bài 1 trang 116 Toán 11 tập 2 - Cánh Diều: Cho hình lập phương \(MNPQ. M’N’P’Q’\) có cạnh bằng \(a\). Góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(M’P\) bằng: A...

Đề bài :

Cho hình lập phương \(MNPQ.M’N’P’Q’\) có cạnh bằng \(a\).

a) Góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(M’P\) bằng:

A. \({30^ \circ }\).

B. \({45^ \circ }\).

C. \({60^ \circ }\).

D. \({90^ \circ }\).

b) Gọi \(\alpha \) là số đo góc giữa đường thẳng \(M’P\) và mặt phẳng \(\left( {MNPQ} \right)\). Giá trị \(\tan \alpha \) bằng:

A. 1.

B. 2.

C. \(\sqrt 2 \).

D. \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

c) Số đo của góc nhị diện \(\left[ {N,MM’,P} \right]\) bằng:

A. \({30^ \circ }\).

B. \({45^ \circ }\).

C. \({60^ \circ }\).

D. \({90^ \circ }\).

d) Khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {NQQ’N’} \right)\) bằng:

A. \(a\).

B. \(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\).

C. \(a\sqrt 2 \).

D. \(\frac{a}{2}\).

Hướng dẫn giải :

a) Cách xác định góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\):

Bước 1: Lấy một điểm \(O\) bất kì.

Bước 2: Qua điểm \(O\) dựng đường thẳng \(a’\parallel a\) và đường thẳng \(b’\parallel b\).

Bước 3: Tính \(\left( {a,b} \right) = \left( {a’,b’} \right)\).

b) Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

c) Cách xác định góc nhị diện \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]\)

Bước 1: Xác định \(c = \left( {{P_1}} \right) \cap \left( {{Q_1}} \right)\).

Bước 2: Tìm mặt phẳng \(\left( R \right) \bot c\).

Bước 3: Tìm \(p = \left( R \right) \cap \left( {{P_1}} \right),q = \left( R \right) \cap \left( {{Q_1}} \right),O = p \cap q,M \in p,N \in q\).

Khi đó \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right] = \widehat {MON}\).

d) Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Tính khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

a) \(MM’ = PP’,MM’\parallel PP’\)

\( \Rightarrow MPP’M’\) là hình bình hành

\( \Rightarrow MP\parallel M’P’ \Rightarrow \left( {MN,M’P’} \right) = \left( {MN,MP} \right) = \widehat {NMP}\)

\(MNPQ\) là hình vuông \( \Rightarrow \widehat {NMP} = {45^ \circ }\)

Vậy .

Chọn B.

b) \(MM’ \bot \left( {MNPQ} \right) \Rightarrow \left( {M’P,\left( {MNPQ} \right)} \right) = \left( {M’P,MP} \right) = \widehat {MPM’}\)

\(MNPQ\) là hình vuông \( \Rightarrow MP = \sqrt {M{N^2} + N{P^2}} = a\sqrt 2 \)

\(\tan \widehat {MPM’} = \frac{{MM’}}{{MP}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Chọn D.

c) \(MM’ \bot \left( {MNPQ} \right) \Rightarrow MM’ \bot MN,MM’ \bot MP\)

Vậy \(\widehat {NMP} = {45^ \circ }\) là góc nhị diện \(\left[ {N,MM’,P} \right]\).

Chọn B.

d) Gọi \(O = MP \cap NQ\)

\(MNPQ\) là hình vuông \( \Rightarrow MO \bot NQ\)

\(NN’ \bot \left( {MNPQ} \right) \Rightarrow NN’ \bot MO\)

\( \Rightarrow d\left( {M,\left( {NQQ’N’} \right)} \right) = MO = \frac{1}{2}MP = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Chọn B.