Bài 2 trang 75 Toán 11 tập 2 - Cánh Diều: Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau...

Đề bài :

Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) \(y = 3{x^2} - 4x + 5\) tại điểm \({x_0} = - 2\)

b) \(y = {\log _3}(2x + 1)\) tại điểm \({x_0} = 3\)

c) \(y = {e^{4x + 3}}\) tại điểm \({x_0} = 1\)

d) \(y = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\) tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{6}\)

e) \(y = \cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right)\) tại điểm \({x_0} = 0\).

Hướng dẫn giải :

Tìm đạo hàm cấp hai của từng hàm số rồi thay giá trị vào

Lời giải chi tiết :

a,

\(y’ = 6x - 4 \Rightarrow y” = 6\)

Tại \({x_0} = - 2 \Rightarrow y”( - 2) = 6\)

b,

\(\begin{array}{l}y’ = \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 3}}\\ \Rightarrow y” = \left( {2.\frac{1}{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}}} \right)’ = - 2.\frac{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)’}}{{{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}}\\ = - 2\frac{{2\ln 3}}{{{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4\ln 3}}{{{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}}\end{array}\)

Tại \({x_0} = 3 \Rightarrow y”(3) = \frac{{ - 4\ln 3}}{{{{\left( {\left( {2.3 + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4\ln 3}}{{{{\left( {7\ln 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4}}{{49\ln 3}}\)

c, \(y’ = 4{e^{4x + 3}} \Rightarrow y” = 16{e^{4x + 3}}\)

Tại \({x_0} = 1 \Rightarrow y”(1) = 16.{e^{4.1 + 3}} = 16.{e^7}\)

d,

\(y’ = 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) \Rightarrow y” = - 4\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\)

Tại \({x_0} = \frac{\pi }{6} \Rightarrow y”\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = - 4\sin \left( {2.\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = - 2\sqrt 3 \)

e,

\(y’ = - 3.\sin \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow y” = - 9.\cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right)\)

Tại \({x_0} = 0 \Rightarrow y”(0) = - 9.\cos \left( {3.0 - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{ - 9\sqrt 3 }}{2}\)