Bài 2 trang 113 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D‘. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AA‘...

Đề bài :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D‘. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AA‘, C’D‘, AD‘. Chứng minh rằng:

a) NQ // A’D‘ và \(NQ = \frac{1}{2}A’D’\)

b) Tứ giác MNQC là hình bình hành

c) MN // (ACD‘)

d) (MNP) // (ACD‘)

Hướng dẫn giải :

- Hình tứ giác có các cặp cạnh song song là hình bình hành

- Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và a song song với đường thẳng a’ nằm trong (P) thì a song song với (P)

- Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thằng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q)

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: N là trung điểm của AA’ nên \(\frac{{AN}}{{AA’}} = \frac{1}{2}\)

Q là trung điểm của AD’ nên \(\frac{{AQ}}{{AD’}} = \frac{1}{2}\)

Theo định lý Ta – let, ta có NQ // A’D’

Suy ra \(\frac{{NQ}}{{A’D’}} = \frac{{AN}}{{AA’}} = \frac{1}{2}\) nên\(NQ = \frac{1}{2}A’D’\)

b) Ta có: NQ // A’D’ mà A’D’ // BC nên NQ // BC hay NQ // MC (1)

Ta có \(NQ = \frac{1}{2}A’D’\) mà A’D’ = BC, \(MC = \frac{1}{2}BC\), nên NQ = MC (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNQC là hình bình hành

c) Ta có: MNQC là hình bình hành nên MN // CQ

Mà CQ thuộc (ACD’)

Nên MN // (ACD’)

d) Gọi O là trung điểm của AC

Tam giác ACB có: O, M là trung điểm của AC, BC

Suy ra: OM // AB nên \(OM = \frac{1}{2}AB\)

Mà AB = C’D’, \(D’P = \frac{1}{2}C’D\),

Suy ra OM = D’P (1)

Ta có: OM // AB, AB // C’D’ nên OM // C’D‘ hay OM // D’P (2)

Từ (1) và (2) suy ra OMPD’ là hình bình hành. Do đó: MP // OD’

Mà OD’ thuộc (ACD’)

Suy ra: MP // (ACD’)

Mà MN thuộc (ACD’)

Do đó: (MNP) // (ACD’)