Bài 74 trang 107 SBT toán 10 Cánh diều: a) sin(widehat {ABC})...

Đề bài :

Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7. Tính:

a) sin\(\widehat {ABC}\)

b) Diện tích tam giác ABC

c) Độ dài trung tuyến AM

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng định lí cos để tính cos\(\widehat {ABC}\)

Bước 2: Sử dụng công thức lượng giác cơ bản để tính sin\(\widehat {ABC}\)

Bước 3: Sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}AB.BC.\sin B\) để tính diện tích tam giác ABC

Bước 4: Sử dụng công thức \(m_A^2 = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4}\)để tính độ dài trung tuyến AM

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: \(\cos \widehat {ABC} = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}} = \frac{1}{5}\)

Mặt khác, \({\sin ^2}\widehat {ABC} + {\cos ^2}\widehat {ABC} = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\widehat {ABC} = \frac{{24}}{{25}}\) \( \Rightarrow \sin \widehat {ABC} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\) (Do \({0^0} < \widehat {ABC} < {180^0}\))

b) Diện tích ∆ABC là: \(S = \frac{1}{2}AB.BC.\sin \widehat {ABC} = \frac{1}{2}.5.6.\frac{{2\sqrt 6 }}{5} = 6\sqrt 6 \)

c) Gọi AM là một đường trung tuyến của ∆ABC, ta có:

\(A{M^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4} = 28\) \( \Rightarrow AM = 2\sqrt 7 \)