Bài 25 trang 52 SBT toán 10 Cánh diều: Với giá trị nào của tham số (m) thì hàm số (y = sqrt {2{x^2} - 5x + 3m - 2} ) c...

Đề bài :

Với giá trị nào của tham số \(m\) thì hàm số \(y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 3m - 2} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?

Phương pháp giải :

\(\sqrt {f(x)} \) xác định khi \(f(x) \ge 0\)

Tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \ge 0\;\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 3m - 2} \) xác định khi \(2{x^2} - 5x + 3m - 2 \ge 0\)

Do đó, hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 3m - 2 \ge 0\;\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\) (*)

Mà \(a = 2 > 0,\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.\left( {3m - 2} \right) =  - 24m + 41\)

Do đó \((*) \Leftrightarrow  - 24m + 41 \le 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{{41}}{{24}}\)

Vậy \(m \ge \frac{{41}}{{24}}\)