Bài 84 trang 99 SBT toán 10 Cánh diều: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1 ; 0) và B(0...

Đề bài :

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1 ; 0) và B(0 ; 3). Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn

MA = 2MB.

Phương pháp giải :

Bước 1: Tham số hóa tọa độ điểm M rồi tính độ dài MA, MB

Bước 2: Biến đổi giả thiết MA = 2MB rồi kết luận về tập hợp các điểm M thỏa mãn

Lời giải chi tiết :

Gọi M(x ; y)

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = (a - 1;b) \Rightarrow AM = \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {y^2}}  \Rightarrow A{M^2} = {(x - 1)^2} + {y^2}\)

         \(\overrightarrow {BM}  = (a;b - 3) \Rightarrow BM = \sqrt {{x^2} + {{(y - 3)}^2}}  \Rightarrow B{M^2} = {x^2} + {(y - 3)^2}\)

Theo giả thiết, \(MA = 2MB \Rightarrow M{A^2} = 4M{B^2}\) \( \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {y^2} = 4\left[ {{x^2} + {{(y - 3)}^2}} \right]\)

                                           \( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 2x - 24y + 35 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \frac{2}{3}x - 8y + \frac{{35}}{3} = 0\)

                                     \( \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = \frac{{40}}{9}\)

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn MA = 2MB  là đường tròn có PT: \({\left( {x + \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = \frac{{40}}{9}\) với tâm là \(I\left( { - \frac{1}{3};4} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{2\sqrt {10} }}{3}\).