Bài 82 trang 99 SBT toán 10 Cánh diều: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm F1(−4 ; 0) và...

Đề bài :

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm F₁(−4 ; 0) và F₂(4 ; 0).

a) Lập phương trình đường tròn có đường kính là F₁F₂

b) Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng toạ độ thoả mãn MF₁ + MF₂ = 12 là một đường conic (E). Cho biết (E) là đường conic nào và viết phương trình chính tắc của (E)

c) Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng toạ độ thoả mãn |MF₁ – MF₂| = 4 là một đường conic (H). Cho biết (H) là đường conic nào và viết phương trình chính tắc của (H)

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đường kính là F₁F₂  rồi viết PT đường tròn

Bước 2: Viết PT chính tắc của elip có 2 tiêu điểm F₁(−4 ; 0), F₂(4 ; 0) và MF₁ + MF₂ = 12

Bước 3: Viết PT chính tắc của hypebol có 2 tiêu điểm F₁(−4 ; 0), F₂(4 ; 0) và |MF₁ – MF₂| = 4

Lời giải chi tiết :

a) Gọi I là trung điểm của F₁F₂ \( \Rightarrow I(0;0)\)\( \Rightarrow I{F_1} = I{F_2} = 4\)

Đường tròn đường kính F₁F₂ có tâm I(0 ; 0) và bán kính R = 4 có PT: \({x^2} + {y^2} = 16\)

b) Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng toạ độ thoả mãn MF₁ + MF₂ = 12 là đường elip (E)

Ta có: MF₁ + MF₂ = 12 = 2a \( \Rightarrow a = 6\)

         \({F_1}{F_2} = 8 = 2c \Rightarrow c = 4\)

Khi đó \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 36 - 16 = 20\)

Vậy elip (E) có PT: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\)

b) Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng toạ độ thoả mãn |MF₁ – MF₂| = 4 là đường hypebol (H)

Ta có: |MF₁ – MF₂| = 4 = 2a \( \Rightarrow a = 2\)

         \({F_1}{F_2} = 8 = 2c \Rightarrow c = 4\)

Khi đó \({b^2} = {c^2} - {a^2} = 16 - 4 = 12\)

Vậy hypebol (H) có PT: \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1\)