Mục 3 trang 107 Toán 9 tập 2 - Cánh diều: Cho một hình cầu bán kính R và một cốc thuỷ tỉnh có dạng hình trụ với bán kính đáy...

Đề bài :

Cho một hình cầu bán kính R và một cốc thuỷ tỉnh có dạng hình trụ với bán kính đáy là R, chiều cao là 2R.

Đặt hình cầu nằm khít trong cốc hình trụ rồi đổ đầy nước vào cốc đó (Hình 36a). Nhấc nhẹ hình cầu ra khỏi cốc. Đo độ cao cột nước còn lại, ta thấy độ cao này chỉ bằng \(\frac{1}{3}\) chiều cao của cốc (Hình 36b). Hãy cho biết thể tích của hình cầu bằng bao nhiêu phần thể tích của cốc hình trụ.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng công thức tính thể tích hình trụ để tích thể tích cốc và thể tích nước trong cốc.

Từ đó suy ra thể tích của hình cầu.

Lời giải chi tiết :

Thể tích của cốc hình trụ là:

\(\pi .{R^2}.2R = 2\pi .{R^3}\)

Khi bỏ quả cầu ra thì độ cao nước còn lại bằng \(\frac{1}{3}\) chiều cao của cốc nên chiều cao nước là: \(\frac{1}{3}.2R = \frac{2}{3}R\).

Thể tích nước trong cốc là:

\(\pi .{R^2}.\frac{2}{3}R = \frac{2}{3}\pi {R^3}\).

Thể tích của cốc hình trụ chính là tổng thể tích của hình cầu và thể tích nước trong cốc.

Suy ra thể tích của hình cầu là:

\(2\pi {R^3} - \frac{2}{3}\pi {R^3} = \left( {2 - \frac{2}{3}} \right)\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\).

Vậy thể tích của hình cầu bằng \(\frac{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}{{2\pi {R^3}}} = \frac{2}{3}\) phần thể tích của hình trụ.