Bài 4 trang 64 Toán 9 tập 2 - Cánh diều: Cho phương trình \(2{x^2} - 3x - 6 = 0\). a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt...

Đề bài :

Cho phương trình \(2{x^2} - 3x - 6 = 0\).

a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}.\)

b) Tính \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\). Chứng minh cả 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) đều khác 0.

c) Tính \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}\)

d) Tính \({x_1}^2 + {x_2}^2\)

e) Tính \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right|.\)

Hướng dẫn giải :

a) Chứng minh\(\Delta > 0\).

b) Áp dụng định lý Viète.

c),d),e) biến đổi biểu thức để đưa làm xuất hiện \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\).

Lời giải chi tiết :

a) Phương trình có các hệ số \(a = 2;b = - 3;c = - 6\).

\(\Delta = {( - 3)^2} - 4.2.( - 6) = 57 > 0\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Áp dụng định lý Viète, ta có:

\({x_1} + {x_2} = \frac{{ - ( - 3)}}{2} = \frac{3}{2};{x_1}.{x_2} = \frac{{ - 6}}{2} = - 3.\)

Vì \({x_1}.{x_2} = - 3 < 0\) nên phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

Vậy cả 2 nghiệm đều khác 0.

c) \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{3}{2}:\left( { - 3} \right) = \frac{{ - 1}}{2}.\)

d) \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 2.\left( { - 3} \right) = \frac{{15}}{4}.\)

e) Xét \({\left( {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|} \right)^2} = {x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 4.\left( { - 3} \right) = \frac{{57}}{4}.\)

Vậy \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left| {{x_1} - {x_2}} \right|}^2}} = \frac{{\sqrt {57} }}{2}.\)